5B1458 Seminariekurs - Laplaceoperatorer på mångfalder

Lärare: Mattias Dahl, dahl@math.kth.se

Tid och Plats: Tisdagar 10.15-12.00, seminarierum 3733. Första föreläsning tisdag 13/9.

Kursbeskrivning: Denna kurs handlar om en del av gränsområdet mellan geometri/topologi och differentialekvationer.

En riemannsk mångfald är ett rum som lokalt ser ut som euklidiska rummet och som är utrustat med en struktur vilken gör det möjligt att definiera vinklar, längd av kurvor, krökning etc. Vi ska se hur Laplaceoperatorn $\Delta$ generaliseras från det plana euklidiska rummet till riemannska mångfalder. Teorin för Fourierserieutveckling har en motsvarighet för kompakta mångfalder, där de trigonometriska funktionerna motsvaras av de funktioner $f$ som löser egenvektorsekvationen $\Delta f = \lambda f$. Mängden av egenvärden $\lambda$ kallas mångfaldens spektrum.

Temat för kursen är sedan hur spektrum är relaterat till mångfaldens geometri och topologi. En klassisk fråga är om spektrum (via frekvenserna för lösningar till vågekvationen) entydigt bestämmer mångfalden---"Kan man höra vilken form en trumma har?". Vi ska se att svaret på denna fråga är "nej!", olika riemannska mångfalder kan ha samma spektrum. Trots det kan en hel del geometrisk och topologisk information avläsas ur mångfaldens spektrum, de enklaste exemplen är dimension och volym. Förutom resultat av detta slag ska vi också se hur enskilda egenvärden kan begränsas av geometriska kvantiteter.

Kursens huvudpunkter är som följer:

* Introduktion till mångfalder, Riemanngeometri.
* Några explicita beräkningar av spektrum. Exempel på isospektrala mångfalder.
* Bakgrund i funktionalanalys, spektralteori för självadjungerade kompakta operatorer.
* Existens av egenvärden, regularitet hos egenfunktioner.
* Geometriska begränsningar av första egenvärdet.
* Konstruktion av värmeledningskärnan samt dess asymptotik för kort tid, samband med geometri. Asymptotik för stora egenvärden.

Om tid finns (högst osannolikt!) även:

* Zeta-funktionen för Laplaceoperatorn.
* Laplaceoperatorn på differentialformer, koppling till topologi.

Förkunskaper: Analysens grunder, Differentialgeometri, Fourieranalys. Något om funktionalanalys, topologi, partiella differentialekvationer...

Kurslitteratur: Det finns tyvärr inte någon bok som lämpar sig exakt för denna kurs. Främst kommer vi att använda material ur
men även annan litteratur. Dessa två böcker är uppställda som referenslitteratur hos bibliotekarien på Matematikbiblioteket, KTH. Allt nödvändigt material kommer att delas ut på föreläsningarna eller finnas tillgängligt på Matematikbiblioteket.

Examination: Hemuppgifter och eventuellt en muntlig tentamen.


Föreläsningsplan: