Föreläsning 10

Idag

Definition av dubbelintegraler : Riemann - summor

Integration med "brödskive-metoden"

Omkastning av integrationsordningen

Exempel

Dubbelintegral

Vi tittar på en funktion begränsad till en kvadrat.

f[x_,y_]=1-2*(x-1)^2*(y-0.5)^2-0.5*(y-1)*(x-2)^2

c[x_,y_]=If[0≤x&&x≤2&&0≤y&&y≤1,1,0]

Plot3D[f[x,y]*c[x,y],{x,-1,3},{y,-1,2}]

Vi beskriver den med en s.k. trappfunktion.

Vi ger ett litet tal.

delta=0.25

platta[u_]=Floor[u,delta]+delta/2

Plot3D[f[platta[x],platta[y]]*c[x,y],{x,-1,3},{y,-1,2}]

Vi kan lyfta ut en skiva.

c2[x_,y_]=If[0.75≤x&&x≤1,1,0]

Plot3D[f[platta[x],platta[y]]*c[x,y]*c2[x,y],{x,-1,3},{y,-1,2}]

Ex 1

f[x_,y_]=x*y+y^2

c[x_,y_]=If[0≤x&&x≤2&&0≤y&&y≤3,1,0]

Plot3D[f[x,y]*c[x,y],{x,-0,3},{y,0,4}]

Vi tittar på snitt.

Manipulate[Plot[f[a,y],{y,0,3}],{a,0,2}]

Vi kan titta på snitt längs y - axeln också.

Manipulate[Plot[f[x,a],{x,0,2}],{a,0,3}]

Ex 2

f[x_,y_]=x*Exp[x^2-y]

c[x_,y_]=If[1≤x&&x≤2&&0≤y&&y≤1,1,0]

Plot3D[f[x,y]*c[x,y],{x,0,2.5},{y,0,1.5},PlotRange->{0,20}]

Manipulate[Plot[f[a,y],{y,0,1}],{a,1,2}]

Manipulate[Plot[f[x,a],{x,1,2}],{a,0,1}]

Ex 3

f[x_,y_]=x+y

c[x_,y_]=If[0≤x&&x≤1&&0≤y&&y≤1-x^2,1,0]

Plot3D[f[x,y]*c[x,y],{x,0,1},{y,0,1},AxesLabel->Automatic,AxesOrigin->{0,0}]

Ex 4

f[x_,y_]=x/(1+y)^2

c[x_,y_]=If[0≤x&&x≤1&&0≤y&&y≤x,1,0]

Plot3D[f[x,y]*c[x,y],{x,0,1},{y,0,1},AxesLabel->Automatic,AxesOrigin->{0,0}]