Föreläsning 12

Idag

Introduktion till trippel - och multipelintegraler

Exempel

Volymen av ett klot

Ett klot:

ContourPlot3D[x^2+y^2+z^2==1,{x,-1,1},{y,-1,1},{z,-1,1}]

Vi beräknar volymen på traditionellt vis:

B[x_,y_]=Integrate[1,{z,-Sqrt[1-x^2-y^2],Sqrt[1-x^2-y^2]}]

A[x_]=Integrate[B[x,y],{y,-Sqrt[1-x^2],Sqrt[1-x^2]}]

I=Integrate[A[x],{x,-1,1}]

Beräkning över ett rätblock

f[x_,y_,z_]=(x+y)/(1+z)

B[x_,y_]=Integrate[f[x,y,z],{z,0,3}]

A[x_]=Integrate[B[x,y],{y,0,1}]

I=Integrate[A[x],{x,0,2}]

Beräkning över ett simplex

Plot3D[If[0≤x&&0≤y&&x+y≤1,1-x-y,0],{x,0,1},{y,0,1}]

f[x_,y_,z_]=x^2*y
2

B[x_,y_]=Integrate[f[x,y,z],{z,0,1-x-y}]

A[x_]=Integrate[B[x,y],{y,0,1-x}]

S

I=Integrate[A[x],{x,0,1}]

Exempel 1

g[x_,y_]=If[x^2+y^2≤1,3-y,0]

Plot3D[g[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},AspectRatio->1]

B[x_,y_]=Integrate[z,{z,0,3-y}]

A[x_]=Integrate[B[x,y],{y,-Sqrt[1-x^2],Sqrt[1-x^2]}]

I=Integrate[A[x],{x,-1,1}]

Exempel 2

g[x_,y_]=If[x^2+y^2≤5,9-x^2-y^2,0]

Plot3D[g[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3}]

f[x_,y_]=9-x^2-y^2

B[x_,y_]=Integrate[f[x,y],{z,2,Sqrt[9-x^2-y^2]}]

Blir faktiskt för svår att integrera i y - led!