Föreläsning 17

Idag

Greens formel och kurvintegraler

Exempel

Exempel på Greens formel

P[x_,y_]=x^2*y

Q[x_,y_]=x+y

fig1=ParametricPlot[{{t,t^2},{t,1}},{t,-1,1}]

fig2=VectorPlot[{P[x,y],Q[x,y]},{x,-1,1},{y,0,1}]

Show[fig1,fig2]

f[x_,y_]=D[Q[x,y],x]-D[P[x,y],y]

Plot3D[If[x^2≤y&&y≤1,1-x^2,0],{x,-1,1},{y,0,1}]

Att slippa integrera över sluten kurva

P[x_,y_]=x^3-x^2*y

Q[x_,y_]=x*y^2

fig1=ContourPlot[x^2+y^2==1,{x,-1,1},{y,-1,1}]

fig2=VectorPlot[{P[x,y],Q[x,y]},{x,-1,1},{y,-1,1}]

Show[fig1,fig2]

f[x_,y_]=D[Q[x,y],x]-D[P[x,y],y]

Plot3D[If[x^2+y^2≤1,x^2+y^2,0],{x,-1,1},{y,-1,1}]

Att ersätta krånglig väg med enkel väg

P[x_,y_]=2*x*ArcTan[y]

Q[x_,y_]=(x^2+1)/(y^2+1)

fig1=ContourPlot[x^2+(y-1/2)^2==1/4,{x,0,1},{y,0,1}]

fig2=VectorPlot[{P[x,y],Q[x,y]},{x,0,1},{y,0,1}]

Show[fig1,fig2]

f[x_,y_]=D[Q[x,y],x]-D[P[x,y],y]

Ett exempel till på samma sak

P[x_,y_]=1/x*ArcTan[y/x]-y

Q[x_,y_]=1/y*ArcTan[x/y]+x

fig1=ParametricPlot[{{2+Cos[t+π/4],2+Sin[t+π/4]},{1+2/π*t,1+2/π*t}},{t,0,π}]

fig2=VectorPlot[{P[x,y],Q[x,y]},{x,1,3},{y,1,3}]

Show[fig1,fig2]

f[x_,y_]=D[Q[x,y],x]-D[P[x,y],y]

Simplify[%]

Den generellare formen av Greens formel

P[x_,y_]=-y/(x^2+y^2)

Q[x_,y_]=x/(x^2+y^2)

fig1=ParametricPlot[{{-1+t,t},{t,1-t},{-1+t,-t},{t,-1+t}},{t,0,1}]

fig2=VectorPlot[{If[x^2+y^2≥0.2,P[x,y],0],If[x^2+y^2≥0.2,Q[x,y],0]},{x,-1,1},{y,-1,1}]

Show[fig1,fig2]

Ibland behöver vi inte kurvintegralen alls

P[x_,y_]=x/(x^2+y^2)

Q[x_,y_]=y/(x^2+y^2)

fig1=ParametricPlot[{t,t^2},{t,1,2}]

fig2=VectorPlot[{P[x,y],Q[x,y]},{x,1,2},{y,1,4}]

Show[fig1,fig2]

Φ[x_,y_]=Log[x^2+y^2]/2

D[Φ[x,y],x]

D[Φ[x,y],y]

Φ[2,4]-Φ[1,1]

Simplify[%]