Föreläsning 18

Idag

Volym av rotationssymmetriska kroppar

Areaberäkning i normalfall

Areaberäkning för implicit givna ytor

Areaberäkning för ytor på parameterfor

Areaberäkning för rotationssymmetriska ytor

Exempel

En areaberäkning

Plot3D[If[x^2+y^2≤3^2,x^2+y^2,0],{x,-3,3},{y,-3,3}]

A=Integrate[1,{ϕ,0,2*π}]*Integrate[Sqrt[1+4*r^2]*r,{r,0,R}]

Ex

f[x_,y_]=Sqrt[16-x^2]

c[x_,y_]=If[x^2+y^2<16,1,0]

Plot3D[f[x,y]*c[x,y],{x,-4,4},{y,-4,4}]

G[x_,y_]=Sqrt[1+(D[f[x,y],x])^2+(D[f[x,y],y])^2]

A=8*Integrate[Integrate[G[x,y],{y,0,Sqrt[16-x^2]}],{x,0,4}]

Ex

ParametricPlot3D[{(2-Cos[t])*Cos[s],(2-Cos[t])*Sin[s],Sin[t]},{t,-π,π},{s,-π,π}]

f1[s_,t_]=(2-Cos[t])*Cos[s]

f2[s_,t_]=(2-Cos[t])*Sin[s]

f3[s_,t_]=Sin[t]

t1={D[f1[s,t],s],D[f2[s,t],s],D[f3[s,t],s]}

t2={D[f1[s,t],t],D[f2[s,t],t],D[f3[s,t],t]}

Cross[t1,t2]

Ex

f[x_,y_]=Sqrt[1-x^2-y^2]

c[x_,y_]=If[x^2+y^2<x,1,0]

Plot3D[f[x,y]*c[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1}]

Area av rotationssymmetrisk kropp

f[x_,y_]=Sqrt[Sqrt[x]-y^2]

Plot3D[{f[x,y],-f[x,y]},{x,0,2},{y,-2,2}]

A=2*π*Integrate[Sqrt[x]*Sqrt[1+(1/(2*Sqrt[x]))^2],{x,0,2}]