Föreläsning 20

Idag

Gauss sats

Stokes sats

Divergens, rotation och nablaräkning

Repetition av kursen

Exempel

Ex

Fig1=Plot3D[If[x^2+y^2<1,x^2+y^2,0],{x,-1,1},{y,-1,1}]

Fig2=VectorPlot3D[{x*y,0,z^2},{x,-1,1},{y,-1,1},{z,0,1}]

Show[Fig1,Fig2]

Ex

Fig1=Plot3D[If[x^2+y^2<4,(x^2+y^2)/2,0],{x,-2,2},{y,-2,2}]

Fig2=VectorPlot3D[{3*y,x*z,y*z^2},{x,-2,2},{y,-2,2},{z,0,2}]

Show[Fig1,Fig2]

Repetitionsproblem

Skissa nivåkurvor

(Exempel från boken:  1.17)

Skissa några lämpliga nivåkurvor till 
z=(y^2)x+1

Enkel integrering

(Exempel från boken :  2.6)

Bestäm en funktion F(x,y) så att 
((∂F)/(∂x))= 2x cos((x^2)+y)-(y/(x^2))-sin x
((∂F)/(∂y))= cos ((x^2)+y)+(1/x)+1

Felanalys

(Exempel från boken :  2.9)

Antag att vi har en triangel med två sidor a,b och en vinkel α mellan dem. Då har triangeln en area 
A = (1/2)ab sin α
Om vi har a=10 m och b=13 m och α = (π/5) så får vi att A = 38,35 (m^2)
Antag att vi har ett maximalt fel på 10 % i a,b och α. Hur stort kan då felet bli i A maximalt. 
(Uttryck svaret både som absolut fel och relativt fel.)

Bestäm tangentplan

(Exempel från boken :  2.11)

Vi har ytan z=(x^2)-(y^2)+x.
Punkten ((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0]),(Subscript[z, 0])) =(1,2,-1) ligger på ytan. Bestäm ekvationen för tangentplanet i punkten.

Satisfierar f en differentialekvation?

(Exempel från boken :  2.15)

Visa att u(x,y)=f(x (y^2)) där f är en godtycklig funktion är en lösning till den partiella differentialekvationen 
2 ((∂u)/(∂x))-y((∂u)/(∂y))=0.

Lös differentialekvation

(Exempel från boken :  2.22)

Lös den partiella differentialekvationen 3 ((∂f)/(∂x))-2((∂f)/(∂y))=0
med variabelbytet
u= 2x+3y
v =x+y

Bestäm Taylorpolynom

(Exempel från boken :  2.60)

Bestäm Taylorpolynomet för f(x,y)=((y^2)/(1+x)) vid utveckling kring (1,2) d.v.s.  beskriv f(1+h,2+k).
Ta med termer av grader till och med 2 i h,k.

Avgör karaktären hos Q

(Exempel från boken :  2.64)

Avgör vad  Q=2 h k -2 (h^2)-3 (k^2) har för karaktär.

Hitta alla extrempunkter

(Exempel från boken :  2.66)

Bestäm samtliga kritiska punkter till f(x,y)=((x^2)+y)(e^(-x+y)).

Skissa parametriserad kurva

(Exempel från boken :  3.1)

Skissa kurvan med parametrisering
(x(t),y(t))=(3 cos (t^2),1+sin (t^2)),
 0 ⩽ t ⩽ (Sqrt[π]).
 Ange också tangenten som funktion av t.

Efter titeln anges en sådan typisk uppgift bland de rekommenderade uppgifterna.

Största och minsta värde över rektangel  (4.2)

Bestäm största och minsta värde för

f(x,y)=x y-2x

på rektangeln  -1≤x≤1, 0≤y≤1.

Största och minsta värde över cirkelskiva (4.11)

Bestäm största och minsta värde för

f(x,y)= (x^2)+((y^2)/2)

på cirkelskivan  (x^2)+(y^2)≤1.

Största och minsta värde på icke - kompakt mängd (4.21)

Bestäm största och minsta värde för 

f(x,y)=(x/(1+(x^2)+(y^2)))

i halvplanet y≥0.

Extremvärden med bivillkor (Lagrange)  (4.26)

Bestäm max och min för 

f(x,y,z)= x+y-z

över sfären (x^2)+(y^2)+(z^2)=1.

Integrering över triangel (6.15)

Beräkna integralen ∫∫(x+2 y)dx dy  över triangeln med hörn i  (-1,1),  (-1,-1) , (3,-1).

Integral med polära koordinater (6.25)

Beräkna  integralen ∫∫((x y)/((x^2)+(y^2)))dx dy över kvartscirkelskivan definierad av {(x,y); 0≤x, 0≤y, (x^2)+(y^2)≤1} .

Trippelintegral över rektangel (7.1)

Beräkna ∫∫∫(1+2x-3y)dx dy dz över rektangeln {(x,y,z); -a≤x≤a, -b≤y≤b, -c≤z≤c}.

Trippelintegral med polära koordinater i två dimensioner (7.3)

Beräkna ∫∫∫z dx dy dz över kroppen K= {(x,y,z); (x^2)+(y^2)≤1, 0≤z≤3-y}

Trippelintegral med sfäriska koordinater (7.9)

Beräkna ∫∫∫((x^2)+(y^2)) dx dy dz över sfären (x^2)+(y^2)+(z^2)≤(R^2).

Volymberäkning (8.5)

Kuben  {(x,y,z); 0≤x≤2, 0≤y≤2, 0≤z≤1} skärs av med sfärytan (x^2)+(y^2)+(z^2)≤4. Beräkna volymen av den kropp som uppstår.