Föreläsning 3

Clear["'*"]

Några derivataberäkningar

f[x_,y_]=x^2*Exp[x+y]

Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5}]

D[f[x,y],x]

D[f[x,y],y]

Tangentplan

Vi utför en illustration av ett tangentplan. Vi väljer ett halvklot givet av funktionen z = (Sqrt[1-((x^2)+(y^2))]).

f[x_,y_]=Sqrt[1-(x^2+y^2)]

Plot3D[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1}]

Vi tar en punkt som ligger på kurvan, t.ex. {(1/3),(1/3),((Sqrt[7])/3)}. Vi beräknar de partiella derivatorna:

fx=D[f[x,y],x]

fy=D[f[x,y],y]

x=1/3

y=1/3

z=Sqrt[7]/3

fx

fy

Tangentplanet:

plan=ParametricPlot3D[{x+s,y+t,z+fx*s+fy*t},{s,-5,5},{t,-5,5}]

Vi försöker rita ut båda kurvorna. Vi parametriserar först halvcirkeln med variablerna u,v:

x=Sin u Cos v y=Sin u Sin v , z=Cos u

klot=ParametricPlot3D[{Sin[u]*Cos[v],Sin[u]*Sin[v],Cos[u]},{u,0,Pi/2},{v,0,2*Pi}]

Show[klot,plan]

Kedjeregeln

Vi börjar med att rita ut en cirkel:

ParametricPlot3D[{Cos[v],Sin[v],0},{v,0,2Pi},AxesOrigin->{0,0,0}]

Vi kan bara för skojs skull visa hur man ritar en cirkel till:

ParametricPlot3D[{{Cos[v],Sin[v],0},{1+Cos[u],0,Sin[u]}},{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},AxesOrigin->{0,0,0}]

Vi tar en funktion :

F[x_,y_]=3*x^2y^3

Plot3D[F[x,y],{x,-1.5,1.5},{y,-1.5,1.5}]

Vi beräknar funktionen på cirkeln:

G=F[x,y]/.x->Cos[t]/.y->Sin[t]

ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],G},{t,0,2*Pi}]

Vi deriverar :

H=D[G,t]

Vi kan plotta derivatan :

ParametricPlot3D[{{Cos[t],Sin[t],G},{Cos[t],Sin[t],H}},{t,0,2*Pi},PlotStyle->{Black,Red}]