Föreläsning 4

Integrering

Clear["'*"]

Vi testar med att integrera en flervariabelfunktion

Integrate[(x+y)Sin[x],x]

Vi ser att Mathematica inte själv lägger till en godtycklig funktion g(y). Det kan vi själva göra (om inte g används redan).
Ex:  Vi vill hitta en funktion f så att 

(∂_x)f = (x/((x^2)+(y^2))) , (∂_y)f = (y/((x^2)+(y^2)))

f[x_,y_]=Integrate[(x/((x^2)+(y^2))),x]+g[y]

D[f[x,y],y]

Vi ser att g'(y)=0 så vi kan sätta g(y)=C.

Ett exempel till

(∂_x)f = (y/((x^2)+(y^2))) , (∂_y)f = ((- x)/((x^2)+(y^2)))+2

f[x_,y_]=Integrate[(y/((x^2)+(y^2))),x]+g[y]

D[f[x,y],y]

Vi ser att här gäller g'(y)=2. Vi sätter därför g(y)=2y +C.

Ett tangentplan

Vi väljer en funktion :

Clear[x]

Clear[y]

Clear[z]

f[x_,y_]=x^2/y^(1/2)+x^3*y^2

Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,0,5},AxesLabel->Automatic]

Vi väljer en punkt. T.ex. x=-2 , y=4 ser bra ut.

x0=-2

y0=4

z0=f[x0,y0]

Tangentplanet kan skrivas som z=g(x,y) där g kan beräknas på följande sätt:

fx=D[f[x,y],x]

a=D[f[x,y],x]/.x->x0/.y->y0

b=D[f[x,y],y]/.x->x0/.y->y0

g[x_,y_]=a*x+b*y-(a*x0+b*y0-z0)

Plot3D[{f[x,y],g[x,y]},{x,-5,5},{y,0,5},PlotStyle->{Blue,Red}]

Nu tar vi  z=x*y

f[x_,y_]=x*y

Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5},AxesLabel->Automatic]

Vi tar punkten (1,2).

x0=1

y0=2

Vi beräknar gradienten:

Gra={D[f[x,y],x],D[f[x,y],y]}/.x->x0/.y->y0

Vi tar en riktningsvektor v

v={Cos[u],Sin[u]}

RiDer[u_]= Gra . v

Plot[RiDer[u],{u,0,2*Pi}]

ParametricPlot3D[{{Cos[u],Sin[u],0},{Cos[u],Sin[u],RiDer[u]}},{u,0,2*Pi}]

Vi kan göra om allt med en annan funktion:

f[x_,y_]=Cos[x-y]*Sin[x*y]

Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5},AxesLabel->Automatic]

Vi tar punkten (1,2).

x0=1

y0=2

Vi beräknar gradienten:

Gra={D[f[x,y],x],D[f[x,y],y]}/.x->x0/.y->y0

Vi tar en riktningsvektor v

v={Cos[u],Sin[u]}

RiDer[u_]= Gra . v

Plot[RiDer[u],{u,0,2*Pi}]

ParametricPlot3D[{{Cos[u],Sin[u],0},{Cos[u],Sin[u],RiDer[u]}},{u,0,2*Pi}]

Beräkning av tangenter

Vi startar med en funktion.

f[x_,y_]=x^2/7+y^2/2

Vi väljer K och plottar K=f(x,y)

K=1

funk=ContourPlot[K==f[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3}]

Vi väljer en punkt på kurvan

x0=1

Solve[K==f[x0,y],y]

y0=y/.%[[2]][[1]]

Vi beräknar tangentens funktion

g[y]ekv=

Gra = {D[f[x,y],x],D[f[x,y],y]}/.x->x0/.y->y0

ekv=Gra . {x,y}==Gra .{x0,y0}

g[x_]=y/.Solve[ekv,y][[1]]

tangent=Plot[g[x],{x,-3,3}]

Show[funk,tangent]