Föreläsning 5

Högre derivator

Några exempel på derivataberäkningar

f[x_,y_]=Sin[(Sqrt[x^2+y^2])]

D[f[x,y],{x,2}]

Simplify[%]

D[f[x,y],{y,2}]

Simplify[%]

D[f[x,y],x,y]

Vi testar att derivera i andra ordningen:

D[f[x,y],y,x]

Samma resultat!

Vi kan få fram mer komplicerade samband:

D[Log[g[x,y]],{x,2}]

Tolka vad det betyder!

Separabla  funktioner

Vi säger att en funktion  f(x,y) är multiplikativt separabel om den kan skrivas som g(x)h(y). Det är inte alltid enkelt att se om en funktion är separabel. 
T.ex. är   2 x y+(x^2) y-2 x (y^2)-(x^2) (y^2) separabel. 
Det finns dock ett test:

f(x,y) är separabel om  ((∂f)/(∂x)) ((∂f)/(∂y))=f (((∂^2)f)/(∂x ∂y))

f[x_,y_]=2 x y+(x^2) y-2 x (y^2)-(x^2) (y^2)

D[f[x,y],x]*D[f[x,y],y]-f[x,y]*D[f[x,y],x,y]

Expand[%]

Alltså separabel. Men att hitta faktorerna är en annan historia!

Partiella differentialekvationer

Värmeledningsekvationen

Den har formen k(∂/(∂(x^2)))f=(∂/(∂t))f  (om vi bara använder en rumsdimension).

Integrate[Sin[Pi*y]*Sin[n*Pi*y],{y,0,1}]

Sum[Exp[-n^2*Pi^2*t/2]*((Sin[n π])/(π-(n^2) π))*2*Sin[n*Pi*x],{n,1,Infinity}]

Ett exempel är att vi har en stav av längd 1 som vid tiden t=0  har en temperaturfördelning i form av sin(πx). Temperaturutvecklingen har följande form:

f[x_,t_]=(E^(-(((π^2) t)/2))) Sin[π x]

Detta är rätt krångligt att visa. Vi plottar funktionen.

Plot3D[f[x,t],{x,0,1},{t,0,3},AxesLabel->Automatic,PlotRange->All]

Vågekvationen

Ekvationen har formen (c^2)(∂/(∂(x^2)))f=(∂/(∂(t^2)))f (om vi har en rumsvariabel).

En möjlig lösning till ekvationen är t.ex. sin(x-2t) om c=2.

f[x_,t_]=Sin[x-2*t]

Plot3D[f[x,t],{x,0,20},{t,0,5},AxesLabel->Automatic]

Det är en våg som förflyttar sig åt höger i x-led.

Analys av högre ordningens ändringar

f[x_,y_]=2x^2+y^2

Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5}]

Taylorutveckling

Mathematica kan Taylorutveckla utan större problem:

Series[Sin[x+y],{x,0,3},{y,0,3}]

Vi kan utveckla kring andra punkter som t.ex (3,2)

Series[(Sqrt[(x^2)-(y^2)]),{x,3,2},{y,2,2}]