Föreläsning 6

Några huvudpunkter för idag

Parametriserade kurvor

Ytor

Båglängder

Variabelbyten

Funktionalmatriser

Funktionaldeterminanter

Anteckningar och experiment

Kommandot  ParametricPlot ritar en kurva given på parametriserad form.

ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2*Pi}]

Kan göras i 3D också :

ParametricPlot3D[{t,1/10*t^2,1/100*t^3},{t,0,5},AxesOrigin->Automatic]

Två linjer :

l1=ParametricPlot3D[{2+t,1-2*t,t-1},{t,-5,5},AxesOrigin->{0,0,0}]

l2=ParametricPlot3D[{3*t,t-2,1-t},{t,-5,5},AxesOrigin->{0,0,0}]

Show[l1,l2]

Ellips :

ParametricPlot[{3Cos[t],Sin[t]},{t,0,2*Pi}]

Vi kan testa med att variera huvudaxlarna :

Manipulate[ParametricPlot[{a*Cos[t],b*Sin[t]},{t,0,2*Pi}],{a,0,5},{b,0,5}]

En spiral :

ParametricPlot[{t*Cos[t],t*Sin[t]},{t,0,10}]

Att rita tangenter

Tangenten till en cirkel :

Show[ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2*Pi},PlotRange->{{-2,2},{-2,2}}],Graphics[Arrow[{{Cos[1],Sin[1]},{Cos[1]-Sin[1],Sin[1]+Cos[1]}}]]]

Vi kan göra det dynamiskt :

Manipulate[Show[ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2*Pi},PlotRange->{{-2,2},{-2,2}}],Graphics[Arrow[{{Cos[a],Sin[a]},{Cos[a]-Sin[a],Sin[a]+Cos[a]}}]]],{a,0,2*Pi}]

En annan kurva :

f[t_]=t

g[t_]=t^3

r={f[t],g[t]}

ra=r/.t->a

v={D[f[t],t],D[g[t],t]}/.t->a

Manipulate[Show[ParametricPlot[{t,t^3},{t,-5,5},PlotRange->{{-2,2},{-2,2}}],Graphics[Arrow[{{a,(a^3)},{a+1,(a^3)+3a^2}}]]],{a,-5,5}]

En skruv i (R^3):

ParametricPlot3D[{2*Cos[t],2*Sin[t],3*t},{t,0,10}, PlotRange->{{-10,10},{-10,10},{0,30}}]

Parametriserade ytor

Ett halvklot

f1=ParametricPlot3D[{Cos[u]*Sin[v],Sin[u]*Sin[v],Cos[v]},{u,0,2*Pi},{v,0,Pi/2}]

Ett plan :

f2=ParametricPlot3D[{s+t,0.5-s+t/2,1-t},{s,-2,2},{t,-2,2}]

Båda i samma bild :

Show[f1,f2]

Ett mer extremt exempel på vad som kan ritas:

ParametricPlot3D[{{4+(3+Cos[v]) Sin[u],4+(3+Cos[v]) Cos[u],4+Sin[v]},{8+(3+Cos[v]) Cos[u],3+Sin[v],4+(3+Cos[v]) Sin[u]}},{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},PlotStyle->{Red,Green}]

Översättning till och från polära koordinater

f={r[t]*Cos[fi[t]],r[t]*Sin[fi[t]]}

r[t_]=5

fi[t_]=t

ParametricPlot[f,{t,0,10}]

Översättning till och från polära koordinater

Polära till vanliga

f={r[t]*Cos[fi[t]],r[t]*Sin[fi[t]]}

r[t_]=t

fi[t_]=0.25

ParametricPlot[f,{t,0,10}]

Polära till vanliga

f={r[t]*Cos[fi[t]],r[t]*Sin[fi[t]]}

r[t_]=0.5*t

fi[t_]=t

ParametricPlot[f,{t,0,10}]

Vanliga till polära

g={Sqrt[x[t]^2+y[t]^2],ArcTan[y[t]/x[t]]}

x[t]=Cos[t]

y[t]=Sin[t]

ParametricPlot[g,{t,0,1}]

g={Sqrt[x[t]^2+y[t]^2],ArcTan[y[t]/x[t]]}

x[t]=2

y[t]=t

ParametricPlot[g,{t,0,1}]