Föreläsning 7

Vi tar upp

Lokala max/min

Globala max/min på kompakta mängder

Lokala max/min

En funktion:

f[x_,y_]=x^2+y^2-2x-4y+6

Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5},AxesLabel->Automatic]

Zooma in

Plot3D[f[x,y],{x,0,3},{y,0,3},AxesLabel->Automatic]

ContourPlot[f[x,y],{x,0,3},{y,0,3}]

Min verkar vara i x=1, y=2. Vi testar att kvadratkomplettera:

(x-1)^2+(y-2)^2+1

Expand[%]

Andra funktioner som är summor av kvadrater ser ut på liknande sätt:

f[x_,y_]=(x-y)^2+(2x+3y)^2

Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5}]

ContourPlot[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5}]

Om vi har två kvadrater som råkar vara 0 för många punkter samtidigt kan det bli konstigt:

f[x_,y_]=(x+y)^2+1/10*(x^2-y^2)^2

Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5}]

ContourPlot[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5}]

Det verkar inte finnas något isolerat minimum.
Samma effekt kan uppstå med bara en kvadrat:

f[x_,y_]=(2x-y)^2

Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5}]

ContourPlot[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5}]

Några typiska andragradsytor

Positivt definit

f[x_,y_]=(x^2+2y^2)

Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5},BoxRatios->{1,1,1}]

ContourPlot[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5}]

Negativt definit

I stort sett samma sak fast "upp och ner".

f[x_,y_]=2-(x^2+3y^2)

Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5},BoxRatios->{1,1,1}]

ContourPlot[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5}]

Indefinita punkter (Sadelpunkter)

f[x_,y_]=x*y

Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5},BoxRatios->{1,1,1}]

Plot3D[f[x,y],{x,-20,20},{y,-20,20},BoxRatios->{1,1,1}]

ContourPlot[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5}]

f[x_,y_]=x^2-y^2

Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5},BoxRatios->{1,1,1}]

ContourPlot[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5}]

Några exempel

f[x_,y_]=x^2-x+x*y^2

Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5},BoxRatios->{1,1,1}]

ContourPlot[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5}]

ContourPlot[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5},PlotRange->{-1,0}]

Semidefinita punkter

f[x_,y_]=x^2-y^3

Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5},BoxRatios->{1,1,1}]

ContourPlot[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5}]

ContourPlot[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5},PlotRange->{-1,1}]

Ett exempel till

f[x_,y_]=(x-y+y^2)*Exp[x]

Plot3D[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1}]

ContourPlot[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1}]

Funktioner på hela R

Plot[{x,x^2},{x,-5,5}]

Den ena har varken max eller min. Den andra har min men inte max.

Funktion på ändligt men öppet intervall

En funktion som är kontinuerlig på  (1,5)

Plot[1/(x-1)-1/(x-5),{x,0,7}]

Funktion på öppen mängd i (R^2)

Vi kan ta den öppna mängden {(x, y);  ((x^2)/2)+((y^2)/4)<1}
Vi skapar först en s.k. karakteristisk funktion för mängden.

c[x_,y_]=If[((x^2)/2)+((y^2)/4)<1,1,0]

Plot3D[c[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},AxesLabel->Automatic]

Vi tar sedan funktionen f(x,y)=(1/(x^2+(((y-2))^2))) som är kontinuerlig på mängden. Vi begränsar  den till en funktion på mängden genom att multiplicera med den karakteristiska funktionen.

Plot3D[1/(x^2+(y-2)^2)*c[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},AxesLabel->Automatic,PlotRange->{0,10}]

Olika exempel

Ex 1

f[x_,y_]=x*y

c[x_,y_]=If[x^2+y^2≤1,1,0]

Plot3D[f[x,y]*c[x,y],{x,-1.5,1.5},{y,-1.5,1.5},PlotRange->{-1,1}]

Ex 2

f[x_,y_]=x*y*(1-x-y)

c[x_,y_]=If[0≤x&&x≤1&&0≤y&&y≤x,1,0]

Plot3D[c[x,y],{x,0,1.2},{y,0,1.2}]

Plot3D[f[x,y]*c[x,y],{x,0,1.2},{y,0,1.2},AxesLabel -> Automatic,PlotRange->{-1,0.5}]

Ex 3

A[x_,y_]=1/2*(Sin[x]+Sin[y]+Sin[2*π-x-y])

c[x_,y_]=If[0≤x&&x≤π&&0≤y&&y≤π,1,0]

Plot3D[c[x,y],{x,-0.5,3.5},{y,-0.5,3.5}]

Plot3D[A[x,y]*c[x,y],{x,-0.5,3.5},{y,-0.5,3.5}]

Ex 4

f[x_,y_]=x-x^2+y^2

c[x_,y_]=If[0≤x&&x≤2&&0≤y&&y≤1,1,0]

Plot3D[f[x,y]*c[x,y],{x,-0.5,3},{y,-0.5,3}]

Ex 5

f[x_,y_]=x*y-x^3*y^3

c[x_,y_]=If[0≤x&&x≤1&&0≤y&&y≤1,1,0]

Plot3D[f[x,y]*c[x,y],{x,-0.5,1.5},{y,-0.5,1.5},PlotRange->{0,0.5}]