Föreläsning 8

Vi tar upp

Globala max/min på icke - kompakta mängder

Extremvärden med bivillkor

Några envariabelexempel på funktioner på icke-kompakta mängder

Plot[1/(1+x^2),{x,-10,10},PlotRange->{0,1}]

Plot[ArcTan[x],{x,-10,10}]

Några exempel i (R^2)

Plot3D[Sin[x^2+y^2]/(x^2+y^2),{x,-10,10},{y,-10,10},PlotRange->{0,1}]

Plot3D[1/(1+(x-y)^2),{x,-10,10},{y,-10,10}]

c[x_,y_]=If[x^2+y^2≥1,1,0]

Plot3D[1/(1+(x-y)^2)*c[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3}]

f[x_,y_]=x+x*y

c[x_,y_]=If[-2<x&&x<2&&-2<y&&y<2,1,0]

Plot3D[f[x,y]*c[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3}]

Vad händer i ∞?

f[x_,y_]=(x-y)^2/(1+(x-y)^2)

Plot3D[f[x,y],{x,-10,10},{y,-10,10}]

Extremvärden med bivillkor

Ex 1

Hitta den punkt på  planet 2x+y+3z=6 som ligger närmst origo.

Plot3D[3-2x/3-y/3,{x,-5,5},{y,-5,5},AxesOrigin->{0,0,0},AxesLabel->Automatic]

Ex 2

Hitta max till xy+y på enhetscirkeln.

f[x_,y_]=x*y+y

Plot3D[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2}]

c[x_,y_]=If[x^2+y^2<=1,1,0]

Plot3D[c[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2}]

Plot3D[f[x,y]*c[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2}]

Ett alternativt sätt att plotta :

ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],f[Cos[t],Sin[t]]},{t,0,2*π}]

Vi plottar gradienterna till funktionen:

grad={D[f[x,y],x],D[f[x,y],y]}

fig1=VectorPlot[grad,{x,-2,2},{y,-2,2}]

fig2=ContourPlot[x^2+y^2==1,{x,-2,2},{y,-2,2}]

Show[fig1,fig2]

Vi kan försöka se var kurvan är vinkelrät mot gradienten. Vi kan också undersöka dynamiskt.

Manipulate[Show[ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2*Pi},PlotRange->{{-2,2},{-2,2}}],Graphics[Arrow[{{Cos[a],Sin[a]},{Sin[a],Cos[a]+1}}]]],{a,0,2*Pi}]

Ex

Hitta max/min till x y z på sfären (x^2)+(y^2)+(z^2)=12

grad={y*z,x*z,x*y}

fig1=VectorPlot3D[grad,{x,-4,4},{y,-4,4},{z,-4,4}]

fig2=ContourPlot3D[x^2+y^2+z^2==12,{x,-4,4},{y,-4,4},{z,-4,4}]

Show[fig1,fig2]

Svårt att överblicka. Kan vi testa dynamiskt vad som händer?

Manipulate[Show[ParametricPlot3D[{2*(Sqrt[3])*Cos[u]*Sin[v],2*(Sqrt[3])*Sin[u]*Sin[v],2*(Sqrt[3])*Cos[v]},{u,0,2*π},{v,0,π}],Graphics3D[Arrow[{{2*(Sqrt[3])*Cos[u]*Sin[v],2*(Sqrt[3])*Sin[u]*Sin[v],2*(Sqrt[3])*Cos[v]},{2*(Sqrt[3])*Cos[u]*Sin[v]+(2*(Sqrt[3])*Sin[u]*Sin[v])*(2*(Sqrt[3])*Cos[v]),2*(Sqrt[3])*Sin[u]*Sin[v]+(2*(Sqrt[3])*Cos[u]*Sin[v])*(2*(Sqrt[3])*Cos[v]),2*(Sqrt[3])*Cos[v]+(2*(Sqrt[3])*Cos[u]*Sin[v])*(2*(Sqrt[3])*Sin[u]*Sin[v])}}]]],{u,0,2*Pi},{v,0,π}]