Föreläsning 9

Vi tar upp

Repetition

Lösning av partiella differentialekvationer

Taylorutveckling

Optimeringsproblem

Invertering och implicita funktioner

En representation av polära koordinater

Vi har x = r cos ϕ, y = r sin ϕ

f1[r_,ϕ_]=r*Cos[ϕ]

f2[r_,ϕ_]=r*Sin[ϕ]

Vi kan plotta dessa funktioner i samma bild

Plot3D[{f1[r,ϕ],f2[r,ϕ]},{r,0,5},{ϕ,0,2*π},AxesLabel->Automatic,PlotStyle->{Blue,Red}]

Sedan kan vi testa med att beräkna inverstransformen

r =  (Sqrt[(x^2)+(y^2)]), ϕ = Arctan ((y/x))

g1[x_,y_]=(Sqrt[x^2+y^2])

g2[x_,y_]=ArcTan[y/x]

Plot3D[{g1[x,y],g2[x,y]},{x,0,2},{y,0,2},AxesLabel->Automatic,PlotStyle->{Blue,Red}]

Beräkning av funktionalmatris och funktionaldeterminant

f'={{D[f1[r,ϕ],r],D[f1[r,ϕ],ϕ]},{D[f2[r,ϕ],r],D[f2[r,ϕ],ϕ]}}//MatrixForm

g'={{D[g1[x,y],x],D[g1[x,y],y]},{D[g2[x,y],x],D[g2[x,y],y]}}//MatrixForm

Simplify[%]//MatrixForm

Determinanterna :

Det[(({{Cos[ϕ], -r Sin[ϕ]}, {Sin[ϕ], r Cos[ϕ]}}))]

Simplify[%]

Det[(({{(x/(Sqrt[(x^2)+(y^2)])), (y/(Sqrt[(x^2)+(y^2)]))}, {-(y/((x^2)+(y^2))), (x/((x^2)+(y^2)))}}))]

Simplify[%]

Ett exempel på invertering

u=(x^2)+(y^2)

v=(x^2)-(y^2)

Hur ser u och v ut?

Plot3D[{x^2+y^2,x^2-y^2},{x,-1,1},{y,-1,1},AxesLabel->Automatic,PlotStyle->{Blue,Red}]

Vi kan invertera :

Solve[{u==x^2+y^2,v==x^2-y^2},{x,y}]

Vi plottar alla funktionerna tillsammans :

Plot3D[{Sqrt[(u+v)/2],-Sqrt[(u+v)/2],Sqrt[(u-v)/2],-Sqrt[(u-v)/2]},{u,-2,2},{v,-2,2},AxesLabel->Automatic,PlotStyle->{Blue,Blue,Red,Red}]

Ett enkelt exempel på existenssats

Vad har x=4 ln x för lösningar?

Plot[x-4*Log[x],{x,0,10},AxesOrigin->{0,0}]

Bilden visar på två lösningar. Går de att beräkna exakt?

Solve[x==4*Log[x],x]

Vi testar så här istället :

NSolve[x==4*Log[x],x]

Men någon "vanlig" exakt lösning finns tydligen inte.

Implicita funktioner

Ekvationen (x^3)y-(xy^2)+(y^3)=1 ger en kurva:

ContourPlot[x^3*y-x*y^2+y^3==1,{x,-2,2},{y,-2,2}]

F[x_,y_]=x^3*y-x*y^2+y^3

F[1,1]

Så  (1,1) är en punkt på kurvan

D[F[x,y],x]

%/.{x->1}/.{y->1}

D[F[x,y],y]

%/.{x->1}/.{y->1}

Så derivatan i punkten (1, 1) är -1. Går y att beskriva explicit som funktion av x ?

Solve[x^3*y-x*y^2+y^3==1,y]

Jobbigare än väntat!

Ett exempel

En företagare vill uppnå en viss vinst V. Detta kan han göra genom att använda en viss arbetstid t och en viss mängd investerade pengar p. Vi antar att om han använder tiden t och kapitalet p så når han vinsten 
F(t,p) = k ((p((1+p/2)t))^(1/3))
där k är någon konstant.

Antag nu att han valt t,p så att han får en viss vinst V. Nu vill han öka p för att kunna minska t samtidigt som V är konstant. Om han vill minska t med en enhet, hur mycket skall han då öka p? Vi vill beräkna ((dp)/(dt)).

F[t_,p_]=k*p*((1+p/2)*t)^(1/3)

-D[F[t,p],t]/D[F[t,p],p]

Simplify[%]