SF1626 - Övning 1

Göran Andersson goeran@kth.se, 110323

1.6-8

(Subscript[M, 1])

(Subscript[M, 1])={(x,y)∶(x^2)+(y^2)≤1}

rand∶(∂_1)={(x,y)∶(x^2)+(y^2)=1}

inre punkter∶(Subscript[M, 1])∖(∂_1)={(x,y)∶(x^2)+(y^2)<1}

(Subscript[M, 1])∶sluten,begränsad,kompakt

(Subscript[M, 2])

(Subscript[M, 2])={(x,y)∶(Abs[x])+(Abs[y])<1}

x<0∧y<0=>-x-y<1⇔x+y>-1, den nedre vänstra linjen

x<0∧y>0=>...

(∂_2)={(x,y)∶(Abs[x])+(Abs[y])=1}

(Subscript[M, 2])∖(∂_2)=(Subscript[M, 2])

(Subscript[M, 2])∶öppen,begränsad

(Subscript[M, 3])

(Subscript[M, 3])={(x,y)∶max((Abs[x]),(Abs[y]))≤1}

x<0∧y<0=>max(-x,-y)≤1 ⇔x≥-1∧y≥-1, dvs. nedre vänstra hörnet

x<0∧y>0=>...

(∂_3)={(x,y)∶max((Abs[x]),(Abs[y]))=1}

(Subscript[M, 3])∖(∂_3)={(x,y)∶max((Abs[x]),(Abs[y]))<1}

(Subscript[M, 3])∶sluten,begränsad,kompakt

(Subscript[M, 4])

(Subscript[M, 4])={(x,y)∶(Abs[x y])<(1/4)}

(∂_4)={(x,y)∶(Abs[x y])=(1/4)}

(Subscript[M, 4])∖(∂_4)=(Subscript[M, 4])

(Subscript[M, 4])∶öppen

(Subscript[M, 5])

(Subscript[M, 5])={(x,y)∶(x^2)-2 x+(y^2)-4 y<11}={(x,y)∶(((x-1))^2)-1+(((y-2))^2)-4<11}
={(x,y)∶(((x-1))^2)+(((y-2))^2)<(4^2)}

(∂_5)={{x,y}∶(((x-1))^2)+(((y-2))^2)=(4^2)}

(Subscript[M, 5])∖(∂_5)=(Subscript[M, 5])

(Subscript[M, 2])∶öppen, begränsad

(Subscript[M, 6])

(Subscript[M, 6])={(x,y)∶(Abs[x+2y])≤2}={(x,y)∶-2≤x+2y≤2}

x+2y≤2∧-(x+2y)≤2⇔-2≤x+2y≤2

(∂_6)={(x,y)∶(Abs[x+2y])=2}

(Subscript[M, 6])∖(∂_6)={(x,y)∶(Abs[x+2y])<2}

(Subscript[M, 6])∶sluten

(Subscript[M, 7])

(Subscript[M, 7])={(x,y)∶y>(x^2)∧0<x<1∧y≤1}

(∂_7)={(x,y)∶(x=0∧0≤y≤1)∨(y=(x^2)∧0<x≤1)∨(y=1∧0<x<1)}

(Subscript[M, 7])∖(∂_7)={(x,y)∶y>(x^2)∧0<x<1∧y<1}

(Subscript[M, 7])∶varken öppen eller sluten, begränsad

(Subscript[M, 8])

(Subscript[M, 8])={(x,y)∶(x^2)+(y^2)≤2≤ -4-4x-4y-(x^2)-(y^2)}=(-1,-1)

(x^2)+(y^2)≤2∧(((x+2))^2)+(((y+2))^2)≤2⇔{x,y}=(-1,-1)

(∂_8)={(-1,-1)}

(Subscript[M, 8])∖(∂_8)=∅

(Subscript[M, 8])∶sluten,begränsad,kompakt

1.9

(Subscript[M, 1])

(Subscript[M, 1])={(x,y)∶0≤x≤1∧0≤y≤1-x}

(Subscript[M, 2])

(Subscript[M, 2])={(x,y)∶0≤x≤1∧0≤y≤(Sqrt[1-(x^2)])}

(Subscript[M, 3])

(Subscript[M, 1])={(x,y)∶0≤x≤1∧0≤y≤1+(1/2)x}

1.10

(Subscript[M, 1])

(Subscript[M, 1])={{x,y,z}:x+y+z≤1∧x≥0∧y≥0∧z≥0}

Området begränsas av planen x=0,y=0,z=0 och av planet x+y+z=1.

(Subscript[M, 2])

(Subscript[M, 2])={{x,y,z}:(x^2)+(y^2)+(z^2)≤4∧z≥0}

Området begränsas nedåt av planet z=0 och av en sfär med radie 2 och centrum i origo.

(Subscript[M, 3])

(Subscript[M, 3])={{x,y,z}:(x^2)+(y^2)+4(z^2)≤1}={{x,y,z}:(x^2)+(y^2)+((((z/(1/2))))^2)≤1}

Området är en ellipsoid med cirkulärt snitt i x y-planet.

(Subscript[M, 4])

(Subscript[M, 4])={{x,y,z}:(x^2)+(y^2)≤z≤1}

För fixt 0≤z≤1 är snittet en cirkelskiva (x^2)+(y^2)≤((((Sqrt[z])))^2) med radie (Sqrt[z]). För t.ex. y=0 erhålls begränsningsparabeln z=(x^2), 0≤z≤1. På grund av den cirkulära symmetrin inses att området är en cirkulär paraboloid.

(Subscript[M, 5])

(Subscript[M, 5])={{x,y,z}∶(Sqrt[(x^2)+(y^2)])≤z≤1}

För fixt 0≤z≤1 är snittet en cirkelskiva (Sqrt[(x^2)+(y^2)])≤z(Overscript[⇔, z≥0])(x^2)+(y^2)≤(z^2) med radie z. För t.ex. y=0 erhålls begränsningslinjerna (z^2)=(x^2), 0≤z≤1. På grund av den cirkulära symmetrin inses att området är en cirkulär kon.

(Subscript[M, 6])

(Subscript[M, 6])={{x,y,z}:(x^2)+(y^2)≤1}

För fixt z är snittet en cirkelskiva (x^2)+(y^2)≤1 med konstant radie 1.På grund av den cirkulära symmetrin inses att området är en cirkulär cylinder, obegränsad i z-led.

1.13

f(x,y)=ln((x^2)+(y^2)), 0<(x^2)+(y^2)≤4

1.14

a)

Nivåkurvor f(x,y)=k, =1,2,3

f(x,y)=(Sqrt[(x^2)+(y^2)])

Nivåkurvorna är cirklar (x^2)+(y^2)=(k^2) med radie k som ligger på en cirkulär kon. Se uppgift 1.10 (Subscript[M, 5]).

b)

Nivåkurvor f(x,y)=k, =1,2,3

f(x,y)=(x^2)+4(y^2)

Nivåkurvorna är ellipser (x^2)+4(y^2)=k⇔((((x/(Sqrt[k]))))^2)+((((y/((1/2)(Sqrt[k])))))^2)=1 som ligger på en elliptisk paraboloid. Se uppgift 1.10 (Subscript[M, 4]).

c)

Nivåkurvor f(x,y)=k, =-1,1,2

f(x,y)=(x^2)-(y^2)

Nivåkurvorna är hyperblar (x^2)-(y^2)=k som ligger på en hyperbolisk paraboloid med sadelpunkt i origo.

1.19

Nivåytor f(x,y,z)=k, =0,1

f(x,y,z)=z-(Sqrt[1-(x^2)-(y^2)])

Om k=0 har vi ytan

f(x,y,z)=0⇔z-(Sqrt[1-(x^2)-(y^2)])=0⇔z=(Sqrt[1-(x^2)-(y^2)])(Overscript[⇔, z≥0])(x^2)+(y^2)+(z^2)=1

Detta den övre halvan av enhetssfären med centrum i origo.

Om k=1 har vi ytan

f(x,y,z)=1⇔z-(Sqrt[1-(x^2)-(y^2)])=1⇔z-1=(Sqrt[1-(x^2)-(y^2)])(Overscript[⇔, z≥1])(x^2)+(y^2)+(((z-1))^2)=1

Detta den övre halvan av enhetssfären med centrum i (0,0,1).

1.22

({{{({{u=x cos(y)}, {v=x sin(y)}}), 0≤x<∞,0≤y≤π}})

1.23

Den blå kurvan (x,y)=((t^2),t+1) är en horisontellt liggande parabel med vertex i (0,1). Den röda kurvan

5(x^2)+5 x y+3(y^2)-8x-6y+3=0

är en ellips. Skärningspunkterna bestäms enligt:

(Piecewise[{{(x,y)=((t^2),t+1)}, {5(x^2)+5 x y+3(y^2)-8x-6y+3=0}}])    (notera att vi har tre ekvationer och tre obekanta)

⇔5((((t^2)))^2)+5 (t^2) (t+1)+3(((t+1))^2)-8(t^2)-6(t+1)+3=0

⇔5 (t^3)+5 (t^4)=0⇔(t^3) (1+t)=0⇔t=0∨t=-1

t=0=>(x,y)=((0^2),0+1)=(0,1)

t=-1=>(x,y)=((((-1))^2),(-1)+1)=(1,0)

Svar: Skärningspunkterna är (1,0) och (0,1).

1.24

c)

(lim_((x,y)->(1,1))) ((x-y)/(x-1))

Detta gränsvärde kan "avfärdas" genom att ansätta (t.ex.) x-y=f(x) (x-1), där f(x) är någon kontinuerlig funktion. Då gäller att x->1=>y->1 och

x≠1=>((x-y)/(x-1))=((f(x) (x-1))/(x-1))=f(x)

I detta fall gäller

(lim_((x,y)->(1,1))) ((x-y)/(x-1))=(lim_(x->1)) f(x)=f(1)

Genom att variera f(x) erhålls förstås olika värden f(1) och därmed existerar inte (lim_((x,y)->(1,1))) (x-y)/(x-1).

e)

(lim_((x,y)->(0,0))) (((x^3)-(x^2)y)/((x^2)+(y^2)+x y))

Med polära koordinater är (x^2)+(y^2)=(r^2) och x y=(r^2).... I nämnaren kan därför (r^2) brytas ut (kan vara värt ett försök). Sätt

(Piecewise[{{x=r cos(φ)}, {y=r sin(φ)}}])=>(((x^3)-(x^2)y)/((x^2)+(y^2)+x y))=(((x^2)(x-y))/((x^2)+(y^2)+x y))=(((r^2)(cos^2)(φ)(r cos(φ)-r sin(φ)))/((r^2)+r cos(φ)r sin(φ)))

=(((r^3)((cos^2)(φ)(cos(φ)-sin(φ))))/((r^2)(1+cos(φ) sin(φ))))=r(((cos^2)(φ)( cos(φ)-sin(φ)))/(1+(1/2) sin(2 φ)))=r g(φ)

där g(φ) är kontinuerlig. Detta innebär att

(lim_((x,y)->(0,0))) (((x^3)-(x^2)y)/((x^2)+(y^2)+x y))=(lim_(r->0)) r g(φ)=0 g(φ)=0

där  resultatet är oberoende av φ.

1.29

a)

f(x,y)=((sin((x^2)+(y^2)))/((x^2)+(y^2)))

Funktionen är en kvot av kontinuerliga funktioner och är kontinuerlig utom i punkten (0,0) där nämnaren är 0 och funktionen saknar värde. Vi undersöker gränsvärdet.

(lim_((x,y)->(0,0))) ((sin((x^2)+(y^2)))/((x^2)+(y^2)))

Här är (x^2)+(y^2)=(r^2) med polära koordinater, vilket gör denna transformation uppenbart lämplig.

(Piecewise[{{x=r cos(φ)}, {y=r sin(φ)}}])=>((sin((x^2)+(y^2)))/((x^2)+(y^2)))=((sin((r^2)))/(r^2))

oberoende av φ. Detta innebär att

(lim_((x,y)->(0,0))) ((sin((x^2)+(y^2)))/((x^2)+(y^2)))=(lim_(r->0)) ((sin((r^2)))/(r^2))=(lim_((r^2)->0)) ((sin((r^2)))/(r^2))=1

Vi kan därmed utvidga funktionen till

(Subscript[f, e])(x,y)=(Piecewise[{{f(x,y), (x,y)≠(0,0)}, {1, (x,y)=(0,0)}}]),

en funktion som uppfyller (lim_((x,y)->((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0])))) (Subscript[f, e])(x,y)=(Subscript[f, e])((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0])), ∀((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0]))∈(ℝ^2).

b)

f(x,y)=((sin(x y))/(x y+(((x y))^3)))

Funktionen är en kvot av kontinuerliga funktioner och är kontinuerlig utom då x y=0. Vi undersöker gränsvärdet.

(lim_((x,y)->(0,0))) ((sin(x y))/(x y+(((x y))^3)))

Här är x y=t uppenbart lämplig.

(Piecewise[{{t=x y}, {u=x}}])=>((sin(x y))/(x y+(((x y))^3)))=((sin(t))/(t+(t^3)))

oberoende av u. Detta innebär att

(lim_((x,y)->(0,0))) f(x,y)=(lim_(t->0)) ((sin(t))/(t+(t^3)))=(lim_(t->0)) ((sin(t))/t)(1/(1+(t^2)))=1 (1/(1+(0^2)))=1

Vi kan därmed utvidga funktionen till

(Subscript[f, e])(x,y)=(Piecewise[{{f(x,y), (x,y)≠(0,0)}, {1, (x,y)=(0,0)}}]),

en funktion som uppfyller (lim_((x,y)->((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0])))) (Subscript[f, e])(x,y)=(Subscript[f, e])((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0])), ∀((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0]))∈(ℝ^2).

c)

f(x,y)=((((x+y))^2)/((x^2)+(y^2)))

Funktionen är en kvot av kontinuerliga funktioner och är kontinuerlig utom i punkten (0,0) där nämnaren är 0 och funktionen saknar värde. Vi undersöker gränsvärdet.

(lim_((x,y)->(0,0))) ((((x+y))^2)/((x^2)+(y^2)))

Här är (x^2)+(y^2)=(r^2) med polära koordinater, vi provar

(Piecewise[{{x=r cos(φ)}, {y=r sin(φ)}}])=>((((x+y))^2)/((x^2)+(y^2)))=(((x^2)+(y^2)+2 x y)/((x^2)+(y^2)))=1+2cos(φ)

Vi ser att gränsvärdet blir olika för olika vinklar, dvs.

(lim_((x,y)->(0,0))) f(x,y) existerar ej

oavsett hur vi definierar f(0,0).

d)

f(x,y)=((((x+y))^4)/((x^2)+(y^2)))

Funktionen är en kvot av kontinuerliga funktioner och är kontinuerlig utom i punkten (0,0) där nämnaren är 0 och funktionen saknar värde. Vi undersöker gränsvärdet.

(lim_((x,y)->(0,0))) ((((x+y))^4)/((x^2)+(y^2)))

Här är (x^2)+(y^2)=(r^2) med polära koordinater, vi provar

(Piecewise[{{x=r cos(φ)}, {y=r sin(φ)}}])=>((((x+y))^4)/((x^2)+(y^2)))=(((((x^2)+(y^2)+2 x y))^2)/((x^2)+(y^2)))=(((r^2)(1+2cos(φ)))^2)

Vi ser att gränsvärdet blir 0 då r->0 oavsett hur φ(r) ser ut. Vi kan därmed utvidga funktionen till

(Subscript[f, e])(x,y)=(Piecewise[{{f(x,y), (x,y)≠(0,0)}, {0, (x,y)=(0,0)}}]),

en funktion som uppfyller (lim_((x,y)->((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0])))) (Subscript[f, e])(x,y)=(Subscript[f, e])((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0])), ∀((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0]))∈(ℝ^2).

e)

f(x,y)=x (e^(-1/(Sqrt[(x^2)+(y^2)])))

Exponentialfunktionen är kontinuerlig utom i punkten (0,0) där nämnaren i exponenten är 0 och funktionen saknar värde. Vi undersöker gränsvärdet.

(lim_((x,y)->(0,0))) x (e^(-1/(Sqrt[(x^2)+(y^2)])))

Här är (x^2)+(y^2)=(r^2) med polära koordinater, vi provar

(Piecewise[{{x=r cos(φ)}, {y=r sin(φ)}}])=>x (e^(-1/(Sqrt[(x^2)+(y^2)])))=r cos(φ) (e^(-1/r))

(lim_(r->0)) r cos(φ) (e^(-1/r))=cos(φ)(lim_(t->∞)) (1/t)(e^(-t))=cos(φ)×0=0

Vi ser att gränsvärdet blir 0 då r->0 oavsett hur φ(r) ser ut. Vi kan därmed utvidga funktionen till

(Subscript[f, e])(x,y)=(Piecewise[{{f(x,y), (x,y)≠(0,0)}, {0, (x,y)=(0,0)}}]),

en funktion som uppfyller (lim_((x,y)->((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0])))) (Subscript[f, e])(x,y)=(Subscript[f, e])((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0])), ∀((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0]))∈(ℝ^2).

2.1

a)

f(x,y)=x+(x^3)y+(x^2)(y^3)+(y^5)

(∂/(∂x))f(x,y)(Overscript[=, y const.])(∂/(∂x))(x+(x^3)y+(x^2)(y^3)+(y^5))=1+3(x^2)y+2x (y^3)+0=1+3(x^2)y+2x (y^3)

(∂/(∂y))f(x,y)(Overscript[=, x const.])(∂/(∂y))(x+(x^3)y+(x^2)(y^3)+(y^5))=0+(x^3)1+(x^2)3(y^2)+5(y^4)=(x^3)+3(x^2)(y^2)+5(y^4)

b)

f(x,y)=(((x (y^2)+1))^5)

(∂/(∂x))f(x,y)(Overscript[=, y const.])(∂/(∂x))(((x (y^2)+1))^5)=5(((x (y^2)+1))^4)(∂/(∂x))(x (y^2)+1)

=5(((x (y^2)+1))^4)(1 (y^2)+0)=5(((y^2)(x (y^2)+1))^4)

(∂/(∂y))f(x,y)(Overscript[=, x const.])(∂/(∂y))(((x (y^2)+1))^5)=5(((x (y^2)+1))^4)(∂/(∂y))(x (y^2)+1)

=5(((x (y^2)+1))^4)(x 2y+0)=10x y (((x (y^2)+1))^4)

2.4

Vi ska beräkna

x ((∂f)/(∂x))+y ((∂f)/(∂y))+z ((∂f)/(∂z))

med

f(x,y,z)=ln((x^3)+(y^3)+(z^3)-3 x y z)

De partiella derivatorna blir

((∂f)/(∂x))(Overscript[=, y,z const.])(∂/(∂x))ln((x^3)+(y^3)+(z^3)-3 x y z)=(1/((x^3)+(y^3)+(z^3)-3 x y z))(∂/(∂x))((x^3)+(y^3)+(z^3)-3 x y z)

=(1/((x^3)+(y^3)+(z^3)-3 x y z))(3(x^2)+0+0-3×1 y z)=((3((x^2)-y z))/((x^3)+(y^3)+(z^3)-3 x y z))

På grund av symmetrin kan vi kunna skriva upp de andra resultaten direkt.

((∂f)/(∂y))=((3((y^2)-x z))/((x^3)+(y^3)+(z^3)-3 x y z))

((∂f)/(∂z))=((3((z^2)-x y))/((x^3)+(y^3)+(z^3)-3 x y z))

Därmed blir

x ((∂f)/(∂x))+y ((∂f)/(∂y))+z ((∂f)/(∂z))

=x ((3((x^2)-y z))/((x^3)+(y^3)+(z^3)-3 x y z))+y ((3((y^2)-x z))/((x^3)+(y^3)+(z^3)-3 x y z))+z ((3((z^2)-x y))/((x^3)+(y^3)+(z^3)-3 x y z))

=((3x ((x^2)-y z)+3y ((y^2)-x z)+3z ((z^2)-x y))/((x^3)+(y^3)+(z^3)-3 x y z))=3(((x^3)+(y^3)+(z^3)-3 x y z)/((x^3)+(y^3)+(z^3)-3 x y z))=3

2.6

a)

(Piecewise[{{((∂f)/(∂x))=2x sin((x^2)), (1)}, {((∂f)/(∂y))=cos(y), (2)}}])

(2)⇔f(x,y)=sin(y)+g(x)

(1)=>(∂/(∂x))(sin(y)+g(x))=2x sin((x^2))⇔g'(x)=2x sin((x^2))

∴g(x)=∫2x sin((x^2))dx(Overscript[=, t=(x^2)])∫ sin(t)dt=-cos(t)+C=-cos((x^2))+C

∴f(x,y)=sin(y)-cos((x^2))+C

b)

(Piecewise[{{((∂f)/(∂x))=(y/((x^2)+(y^2))), (1)}, {((∂f)/(∂y))=-(x/((x^2)+(y^2))), (2)}}])

(1)⇔f(x,y)=arctan((x/y))+g(y)

(2)=>(∂/(∂y))(arctan((x/y))+g(y))=-(x/((x^2)+(y^2)))⇔g'(y)=0

∴g(x)=C=>f(x,y)=arctan((x/y))+C

Anm: arctan((x/y))+arctan((y/x))=(π/2)