SF1626 - Övning 10

Göran Andersson goeran@kth.se, 110428

9.29

𝔽=(2x y,(x^2)-(y^3))

Vi söker en potential U(x,y) så att

𝔽=∇U=>({{{, ({{((∂U)/(∂x))=2x y, (1)}, {((∂U)/(∂y))=(x^2)-(y^3), (2)}})}})

(1)=>U=(x^2)y+g(y)

(2)=>(x^2)+g'(y)=(x^2)-(y^3)⇔g'(y)=-(y^3)⇔g(y)=-(1/4)(y^4)+C

∴U=(x^2)y-(1/4)(y^4)+C

Vi har hittat en potential. Därmed är kraftfältet konservativt.

U(0,0)=0⇔(0^2)0-(1/4)(0^4)+C=0⇔C=0

∴U(x,y)=(x^2)y-(1/4)(y^4)

9.30

𝔽=((x^3)-3x (y^2),(y^3)-3(x^2)y)

Vi söker en potential U(x,y) så att

𝔽=∇U=>({{{, ({{((∂U)/(∂x))=(x^3)-3x (y^2), (1)}, {((∂U)/(∂y))=(y^3)-3(x^2)y, (2)}})}})

(1)=>U=(1/4)(x^4)-(3/2)(x^2)(y^2)+g(y)

(2)=>-3(x^2)y+g'(y)=(y^3)-3(x^2)y⇔g'(y)=(y^3)⇔g(y)=(1/4)(y^4)+C

∴U=(1/4)((x^4)+(y^4))-(3/2)(x^2)(y^2)+C

Vi har hittat en potential för alla (x,y)∈(ℝ^2). Därmed är kraftfältet konservativt i hela (ℝ^2).

9.31

𝔽=((((x^2)-(y^2))/((((x^2)+(y^2)))^2)),((2 x y)/((((x^2)+(y^2)))^2)))

Vi söker en potential U(x,y) så att

𝔽=∇U=>({{{, ({{((∂U)/(∂x))=(((x^2)-(y^2))/((((x^2)+(y^2)))^2)), (1)}, {((∂U)/(∂y))=((2 x y)/((((x^2)+(y^2)))^2)), (2)}})}})

(2)=>U=∫((2 x y)/((((x^2)+(y^2)))^2))dy(Piecewise[{{t=(x^2)+(y^2)}, {dt=2y dy}}])=x∫(t^(-2))dt=x (-(1/t))+g(x)=-(x/((x^2)+(y^2)))+g(x)

(1)=>(((x^2)-(y^2))/((((x^2)+(y^2)))^2))+g'(x)=(((x^2)-(y^2))/((((x^2)+(y^2)))^2))⇔g'(x)=0⇔g(x)=C

∴U=-(x/((x^2)+(y^2)))+C

Vi har hittat en potential för alla (x,y)≠(0,0)∈(ℝ^2). Därmed är kraftfältet konservativt i hela (ℝ^2)∖(0,0).

9.33

Vi söker g(y) så att

(P,Q)·(dx,dy)=2x y g(y)dx-((y^2)+3(a^2)-3(x^2))g(y)dy

blir exakt. Ett nödvändigt villkor är att

((∂Q)/(∂x))=((∂P)/(∂y))⇔6x g(y)=2x g(y)+2x y g'(y)

⇔x y g'(y)=2x g(y)(Overscript[⇔, x≠0,y≠0])g'(x)-(2/y) g(y)=0⇔(e^(-2ln(y)))g'(x)-(2/y) (e^(-2ln(y)))g(y)=0·(e^(-2ln(y)))

⇔(d/(dy))((e^(-2ln(y)))g(y))=0⇔(d/(dy))((1/(y^2))g(y))=0⇔(1/(y^2))g(y)=C⇔g(y)=C (y^2)

Potentialen U(x,y)  söks nu så att

∇U=(P,Q)⇔(Piecewise[{{((∂U)/(∂x))=2x y g(y)}, {((∂U)/(∂y))=-((y^2)+3(a^2)-3(x^2))g(y)}}])⇔({{{, ({{((∂U)/(∂x))=2C x (y^3), (1)}, {((∂U)/(∂y))=-C ((y^4)+3(a^2)(y^2)-3(x^2)(y^2)), (2)}})}})

(1)=>U=C (x^2) (y^3)+h(y)

(2)=>3C (x^2) (y^2)+h'(y)=-C (y^4)-3C (a^2)(y^2)+3C (x^2)(y^2))

⇔h'(y)=-C (y^4)-3C (a^2)(y^2)⇔h(y)=-(C/5) (y^5)-C (a^2)(y^3)+(Subscript[C, 2])

∴U=C (y^3) ( (x^2)-(1/5) (y^2)-(a^2))+(Subscript[C, 2])

9.34

Vi söker g(x,y) så att

(P,Q)·(dx,dy)=g(x,y)(x dx+y dy)

blir exakt. Ett nödvändigt villkor är att

((∂Q)/(∂x))=((∂P)/(∂y))⇔y((∂g)/(∂x))-x((∂g)/(∂y))=0

Vi väljer följande susbstitution

(Piecewise[{{u=(x^2)+(y^2)}, {v=x}}])

Kedjeregeln ger:

𝕩=(x,y)y, 𝕦=(u,v)

((∂g)/(∂𝕩))=((∂g)/(∂𝕦))·((∂𝕦)/(∂𝕩))⇔(({{((∂g)/(∂x)), ((∂g)/(∂y))}}))=(({{((∂g)/(∂u)), ((∂g)/(∂v))}}))·(({{((∂u)/(∂x)), ((∂u)/(∂y))}, {((∂v)/(∂x)), ((∂v)/(∂y))}}))=(({{((∂g)/(∂u)), ((∂g)/(∂v))}}))·(({{2x, 2y}, {1, 0}}))

∴y((∂g)/(∂x))-x((∂g)/(∂y))=((∂g)/(∂𝕩))·(({{y}, {-x}}))=(({{((∂g)/(∂u)), ((∂g)/(∂v))}}))·(({{2x, 2y}, {1, 0}}))·(({{y}, {-x}}))=(({{((∂g)/(∂u)), ((∂g)/(∂v))}}))·(({{0}, {y}}))=((∂g)/(∂v))y

∴y((∂g)/(∂x))-x((∂g)/(∂y))=0⇔((∂g)/(∂u))y=0⇔((∂g)/(∂v))=0⇔g(u,v)=g(u)

Dvs. g(x,y)=g((x^2)+(y^2))

Lösning av PDE:n

Se t.ex. BETA ch. 10.9

y((∂g)/(∂x))-x((∂g)/(∂y))=0

Den karakteristiska kurvan uppfyller

((dy)/(dx))=((-x)/y)⇔∫y dy=∫(-x) dx⇔(x^2)+(y^2)=C

Härav följer substitutionen u

(Piecewise[{{u=(x^2)+(y^2)}, {v=x     (t.ex.)}}])

Resten av lösningen framgår ovan.

10.63

a)

Inför vektorfältet

𝕦=((y^2)+2x z-y (z^3),(z^2)+a x y-x (z^3),2y z+(x^2)+b x y (z^2))

Vi söker a och b så att 𝕦 blir ett konservativt. Ett nödvändigt villkor är då att 𝕦 är virvelfritt. Eftersom vi betraktar hela (ℝ^3) som är enkelt sammanhängande är villkoret även tillräckligt.

∇×𝕦=𝟘

⇔(Det[({{(Subscript[𝕖, x]), (Subscript[𝕖, y]), (Subscript[𝕖, z])}, {(∂/(∂x)), (∂/(∂y)), (∂/(∂z))}, {(y^2)+2x z-y (z^3), (z^2)+a x y-x (z^3), 2y z+(x^2)+b x y (z^2)}})])=(0,0,0)

(Piecewise[{{(2z+b x (z^2))-(2z-3x (z^2))=0, (1)}, {-(2x+b y (z^2))+(2x-3y (z^2))=0, (2)}, {(a y-(z^3))-(2y-(z^3))=0, (3)}}])

(1)=>b x (z^2)+3 x (z^2)=0⇔b=-3

(3)=>a y-2 y=0⇔a=2

Ekvation (2) ger en kontroll (stämmer).

b)

Fältet blir

𝕦=((y^2)+2x z-y (z^3),(z^2)+2 x y-x (z^3),2y z+(x^2)-3 x y (z^2))

Vi söker nu en potential U(x,y,z) så att

∇U=𝕦⇔({{{, ({{((∂U)/(∂x))=(y^2)+2x z-y (z^3), (4)}, {((∂U)/(∂y))=(z^2)+2 x y-x (z^3), (5)}, {((∂U)/(∂z))=2y z+(x^2)-3 x y (z^2), (6)}})}})

(4)=>U=x (y^2)+(x^2) z-x y (z^3)+f(y,z)

(5)=>2x y-x (z^3)+(Subscript[f, y]^′)(y,z)=(z^2)+2 x y-x (z^3)⇔(Subscript[f, y]^′)(y,z)=(z^2)

⇔f(y,z)=y (z^2)+g(z)=>U=x (y^2)+(x^2) z-x y (z^3)+y (z^2)+g(z)

(6)=>(x^2)-3x y (z^2)+2y z+g'(z)=2y z+(x^2)-3 x y (z^2)⇔g'(z)=0⇔g(z)=C

∴U=x (y^2)+(x^2) z-x y (z^3)+y (z^2)+C

c)

Eftersom fältet är konservativt är arbetet oberoende av vägen:

(∫_γ)𝕦·d𝕣=U(2,1,0)-U(1,0,1)=(2+C)-(1+C)=1

10.64

Inför vektorfältet

𝕦=(sin(z),x sin(z),x cos(z))

Vi söker en funktion g(y) så att g(y)𝕦 blir ett potentialfält. Ett nödvändigt villkor är då att g(y)𝕦 är virvelfritt. Eftersom vi betraktar hela (ℝ^3) som är enkelt sammanhängande är villkoret även tillräckligt.

∇×(g(y)𝕦)=𝟘

⇔(Det[({{(Subscript[𝕖, x]), (Subscript[𝕖, y]), (Subscript[𝕖, z])}, {(∂/(∂x)), (∂/(∂y)), (∂/(∂z))}, {g(y)sin(z), g(y)x sin(z), g(y)x cos(z)}})])=(0,0,0)

(Piecewise[{{g'(y)x cos(z)-g(y)x cos(z)=0, (1)}, {-g(y)cos(z)+g(y)cos(z)=0, (2)}, {g(y) sin(z)-g'(y)sin(z)=0, (3)}}])

(1)=>g'(y)-g(y)=0⇔g(y)=C (e^y)

Bestämning av potentialen (extra)

Fältet blir

𝔽=C (e^y)(sin(z),x sin(z),x cos(z))

Vi söker nu en potential U(x,y,z) så att

∇U=𝔽⇔({{{, ({{((∂U)/(∂x))=C (e^y)sin(z), (4)}, {((∂U)/(∂y))=C (e^y)x sin(z), (5)}, {((∂U)/(∂z))=C (e^y)x cos(z), (6)}})}})

(4)=>U=C x (e^y)sin(z)+h(y,z)

(5)=>C x (e^y)sin(z)+(Subscript[h, y]^′)(y,z)=C (e^y)x sin(z)⇔(Subscript[h, y]^′)(y,z)=0=>h(y,z)=k(z)=>U=C x (e^y)sin(z)+h(z)

(6)=>C x (e^y)cos(z)+k'(z)=C (e^y)x cos(z)⇔k'(z)=0⇔k(z)=(Subscript[C, 1])

∴U=C x (e^y)sin(z)+(Subscript[C, 1])