SF1626 - Övning 11

Göran Andersson goeran@kth.se, 110505

9.2

a)

𝕣(t)=(x(t),y(t))=(0,1)+t ((1,-1)-(0,1))=(0,1)+t (1,-2)=(t,1-2t), 0≤t≤1

𝕣'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,-2)

(∫_γ)y dx- dy=(∫_0^1)y(t)(Underscript[(Underscript[x'(t)dt, ⏟]), dx])+(-1)(Underscript[(Underscript[y'(t)dt, ⏟]), dy])=(∫_0^1)(1-2t)·1 dt+(-1)(-2) dt

=(∫_0^1)(-2t+3) dt=(Subscript[[-(t^2)+3t ], 0]^1)=2

Notera att med

𝔽=(y,-1), d𝕣=(dx,dy)

så är

(∫_γ)y dx- dy=(∫_γ)𝔽·d𝕣=(∫_0^1)𝔽(𝕣(t)) ·𝕣'(t)dt

b)

(Subscript[γ, 1]):(0,1)->(1,1),(Subscript[γ, 2]):(1,1)->(1,-1)

(∫_γ)y dx- dy=(∫_(Subscript[γ, 1]))y dx+(-1) (Underscript[(Underscript[dy, ⏟]), 0])+(∫_(Subscript[γ, 2]))y (Underscript[(Underscript[dx, ⏟]), 0])+(-1)  dy=(∫_0^1)(Underscript[(Underscript[1, ⏟]), y=1]) dx+(∫_1^(-1)) (-1)dy=1-(-1-1)=3

9.3

a)

(x(t),y(t))=(0,0)+t ((2,2)-(0,0))=(2t,2t),0≤t≤1

(x'(t),y'(t))=(2,2)

(∫_γ)((x^2)+x y) dx+((y^2)-x y)dy

=(∫_0^1)(((((2t))^2)+2t 2t)·2+((((2t))^2)-2t 2t)·2) dt=(∫_0^1)16(t^2) dt=(16/3)

b)

(x(t),y(t))=(t,(1/2)(t^2)), 0≤t≤2

(x'(t),y'(t))=(1,t)

(∫_γ)((x^2)+x y) dx+((y^2)-x y)dy

=(∫_0^2)(((t^2)+t (1/2)(t^2))·1+(((((1/2)(t^2)))^2)-t (1/2)(t^2))t)dt=

=(∫_0^2)(((t^5)/4)-((t^4)/2)+((t^3)/2)+(t^2)) dt=(62/15)

c)

(Subscript[γ, 1]):(0,0)->(2,0),(Subscript[γ, 1]):(2,0)->(2,2)

(∫_γ)((x^2)+x y) dx+((y^2)-x y) dy=(∫_(Subscript[γ, 1]))((x^2)+x y) dx+((y^2)-x y) (Underscript[(Underscript[dy, ⏟]), 0])+(∫_(Subscript[γ, 2]))((x^2)+x y) (Underscript[(Underscript[dx, ⏟]), 0])+((y^2)-x y)  dy

=(∫_0^2)(Underscript[(Underscript[(x^2), ⏟]), y=0]) dx+(∫_0^2) (Underscript[(Underscript[((y^2)-2 y), ⏟]), x=2])  dy=(8/3)-(4/3)=(4/3)

9.4

(x(t),y(t))=(t,(t^2)), 1≤t≤2

(x'(t),y'(t))=(1,2t)

(∫_γ)y ln(((x^2)/y)) dx-(x/y) dy=(∫_1^2)((t^2) ln(((t^2)/(t^2))) ·1-(t/(t^2))·2t) dt=

=(∫_1^2)(-2) dt=-2

9.5

𝔽=(1,-2)

Δ𝕣=(2,2)-(0,1)=(2,1)

𝔽 är konstant och 𝔽∟Δ𝕣 => arbetet blir 0.

Alternativt:

W=(∫_γ)𝔽·d𝕣=𝔽·(∫_γ)d𝕣=𝔽·Δ𝕣=(1,-2)·(2,1)=1·2+(-2)·1=0

9.6

Eftersom 𝔽=∇f är ortogonal tangentens riktningsvektor 𝕣'(t) blir arbetet 0.

W=(∫_γ)𝔽·d𝕣=(∫_α^β)𝔽(𝕣(t))·𝕣'(t)dt=(∫_α^β)0dt=0

9.9

(∮_γ)((x^3)-(x^2)y) dx+x (y^2) dy(Overscript[=, G f])(Underscript[∫∫, (x^2)+(y^2)≤4])((∂/(∂x))x (y^2) -(∂/(∂y))((x^3)-(x^2)y))  dx dy

(Underscript[∫∫, (x^2)+(y^2)≤4])((y^2)+(x^2))  dx dy=(Underscript[∫∫, r≤2])(r^2) r dr dθ=(∫_0^2)(r^3)dr(∫_0^(2π))dθ=4·2π=8π

9.10

Med Greens formel

ℐ=(∮_γ)(y^2) dx+(x^2) dy(Overscript[=, G f])(Underscript[∫∫, 𝒟])((∂/(∂x))(x^2)-(∂/(∂y))(y^2))  dx dy=2(Underscript[∫∫, 𝒟])(x-y)  dx dy

Vi använder avbildningen

(Piecewise[{{x-a=ρ cos(θ)}, {y-b=ρ sin(θ)}}])=>((d(x,y))/(d(ρ,θ)))=ρ

𝒟={(x,y):(((x-a))^2)+(((y-b))^2)≤(r^2)}

=>𝒟'={(ρ,θ):0≤ρ≤r,0≤θ≤2π}

∴ℐ=2(Underscript[∫∫, 𝒟'])((a+ρ cos(θ))-(b+ρ sin(θ))) ρ dρ dθ

=2(∫_0^r)  ((∫_0^(2π)) ((a+ρ cos(θ))-(b+ρ sin(θ)))dθ )ρ dρ

=2(∫_0^r)  2π (a-b)ρ dρ=4π (a-b)(∫_0^r)  ρ dρ=2π (a-b) (r^2)

Direkt beräkning

Vi använder parametriseringen

𝕣(θ)=(a+r cos(θ),b+r sin(θ))=>𝕣'(θ)=(-r sin(θ),r cos(θ))

𝔽(x,y)=((y^2),(x^2))

(∫_γ)(y^2) dx+(x^2) dy=(∫_γ)𝔽·d𝕣=(∫_0^(2π))𝔽(𝕣(θ)) ·𝕣'(θ)dθ

=(∫_0^(2π))((((b+r sin(θ)))^2)(-r sin(θ))+(((a+r cos(θ)))^2)r cos(θ))dθ

=(∫_0^(2π))((a^2) r cos(θ)+2 a (r^2) (cos^2)(θ)-(b^2) r sin(θ)-2 b (r^2) (sin^2)(θ)-(r^3) (sin^3)(θ)+(r^3) (cos^3)(θ))dθ

=(∫_0^(2π))(2 a (r^2) (cos^2)(θ)-2 b (r^2) (sin^2)(θ))dθ

=(∫_0^(2π))(2 a (r^2) ((1+cos(2 θ))/2)-2 b (r^2) ((1-cos(2 θ))/2))dθ

=( a (r^2)-b (r^2))(∫_0^(2π))dθ=2π (a-b) (r^2)

eftersom de röda delarna integreras till 0.

9.12

𝔽=((e^x),1+x (y^2))

W=(∫_Γ)𝔽·d𝕣=(∫_Γ)(e^x) dx+(1+x (y^2)) dy

För att kunna använda Greens formel betraktas kurvan Γ+Δ

W+(∫_Δ)𝔽·d𝕣=(∫_(Γ+Δ))(e^x) dx+(1+x (y^2)) dy

(Overscript[=, G f])(Underscript[∫∫, 𝒟])((∂/(∂x))(1+x (y^2))-(∂/(∂y))(e^x))  dx dy=(Underscript[∫∫, 𝒟])(y^2)  dx dy

(Overscript[=, pol. koord.])(Underscript[∫∫, 𝒟'])(((r sin(θ)))^2) r dr dθ=(∫_0^1)(r^3)dr(∫_(-π/2)^(π/2))(sin^2)(θ)dθ

=(∫_0^1)(r^3)dr(∫_0^π)(1/2) (1-cos(2 θ))dθ=(1/4)·(π/2)=(π/8)

(∫_Δ)𝔽·d𝕣=(∫_Δ)(e^x) (Underscript[(Underscript[dx, ⏟]), 0])+(1+(Underscript[(Underscript[x, ⏟]), 0]) (y^2)) dy=(∫_1^(-1))dy=-2

∴W-2=(π/8)⇔W=(π/8)+2

9.13

I=(∫_Γ)(x-y) dx+(x+y) dy

För att kunna använda Greens formel betraktas kurvan γ+δ

I+(∫_δ)(x-y) dx+(x+y) dy=(∫_(γ+δ))(x-y) dx+(x+y) dy

(Overscript[=, G f])(Underscript[∫∫, 𝒟])((∂/(∂x))(x+y)-(∂/(∂y))(x-y))  dx dy=2(Underscript[∫∫, 𝒟]) dx dy(Overscript[=, *)])2·(1/2)(π·1·(1/(Sqrt[2])))=(π/(Sqrt[2]))

(∫_δ)(x-(Underscript[(Underscript[y, ⏟]), 0])) dx+(x+(Underscript[(Underscript[y, ⏟]), 0])) (Underscript[(Underscript[dy, ⏟]), 0])=(∫_(-1)^1)(Underscript[(Underscript[x, ⏟]), udda]) dx=0

∴I+0=(π/(Sqrt[2]))⇔I=(π/(Sqrt[2]))

(( )^( *))) Arean av ellipsen ((((x/a)))^2)+((((y/b)))^2)=1 är π a b .

9.19

Den givna ellipsen innesluter origo, där vektorfältet är odefinierat. För att använda Greens formel inför vi en positivt orienterad randkurva som undantar origo. Den vänstra bilden visar ett exempel på en sådan rand (blå+röd). Istället för den enkla cirkeln väljer vi dock kurvan σ∶(Abs[x])=cos(y) enligt tipset, där är ju (x^2)+(sin^2)(y)=1. Fältet 𝔽 är vidare kontinuerligt i området 𝒟 mellan kurvorna och

𝔽=(P,Q)=(((-sin(y))/((x^2)+(sin^2)(y))),((x cos(y))/((x^2)+(sin^2)(y))))=>((∂P)/(∂y))=((∂Q)/(∂x))=((cos(y) ((sin^2)(y)-(x^2)))/((((x^2)+(sin^2)(y)))^2))

∴(∮_(γ+σ))P dx+Q dy(Overscript[=, G f])(Underscript[∫∫, 𝒟])(((∂Q)/(∂x)) -((∂P)/(∂y)))  dx dy=0

=>(∫_γ)P dx+Q dy=(∫_(-σ))P dx+Q dy

Kurvan -σ kan parametriseras med:

-σ:t→𝕣(t)=(cos(t),t))=>𝕣'(t)=(-sin(t),1), -(π/2)≤t≤((3π)/2)

=>(∫_(-σ))P dx+Q dy=(∫_(-(π/2))^((3π)/2))(((-sin(t)))/1)(-sin(t)) dt+(((cos^2)(t))/1)·1 dt=2π

9.21

Se lösning i övningsboken. I korthet:

∴(∮_γ)(y^3) dx+(3x-(x^3)) dy(Overscript[=, G f])(Underscript[3∫∫, 𝒟])(1-((x^2) +(y^2)))  dx dy=0

(r^2)=(x^2) +(y^2)≤1=>1-((x^2) +(y^2))≥0=>sökt kurva∶ (x^2) +(y^2)=1

9.23

a)

γ:𝕣(t)=𝕣(x(t),y(t))=(t (1-t),(t^2) (1-t)), 0≤t≤1

𝕣'(t)=(1-2 t,2 t-3 (t^2))

b)

Arean blir enligt Greens formel:

(Underscript[∫∫, 𝒟]) dx dy=(Underscript[∫∫, 𝒟])((∂/(∂x))x-(∂/(∂y))0)  dx dy=(∫_γ)(0,x)· (dx,dy)

=(∫_0^1)(0,x(t))·𝕣'(t)dt=(∫_0^1)(0,t (1-t))·(1-2 t,2 t-3 (t^2))dt

=(∫_0^1)(3 (t^4)-5 (t^3)+2 (t^2))dt=(1/60)

9.24

Vi skapar en enkel, sluten och positivt orienterad kurva genom:

(Piecewise[{{σ:𝕩(t)=(t,0), t:0->2π}, {γ:𝕣(t)=(t-sin(t),1-cos(t)), t:2π->0}}])

Vektorfältet som kan användas för att beräkna arean är (t.ex.)

𝔽=(0,x)

Greens formel ger:

A=(Underscript[∫∫, 𝒟]) dx dy=(Underscript[∫∫, 𝒟])((∂/(∂x))x-(∂/(∂y))0)  dx dy

=(∫_σ)𝔽·d𝕩+(∫_γ)𝔽·d𝕣=(∫_0^(2π))𝔽(𝕩(t))·𝕩'(t) dt+(∫_(2π)^0)𝔽(𝕣(t))·𝕣'(t) dt

=(∫_0^(2π))(Underscript[(Underscript[(0,t)·(1,0), ⏟]), 0]) dt+(∫_(2π)^0)(0,t-sin(t))·(1-cos(t),sin(t)) dt

=(∫_(2π)^0)(t-sin(t))sin(t) dt(Overscript[=, part.int.])(Subscript[[(t-sin(t))(-cos(t))], 2π]^0)-(∫_(2π)^0)(1-cos(t))(-cos(t)) dt

=2π+(∫_0^(2π))(cos(t)-1)cos(t) dt=2π+(∫_0^(2π))((1/2)+(1/2)cos(2 t)-cos(t)) dt=3π

10.2

a)

Kurvan parametriseras med

𝕠=(0,0,0),𝕡=(1,1,1)

𝕣(t)=𝕠+t (𝕡-𝕠)=t 𝕡⇔(Piecewise[{{x=t}, {y=t}, {z=t}}])

(∫_γ)(3(x^2)+6y) dx-14y z dy+20x (z^2) dz=(3(x^2)+6y) dx=(∫_0^1)((3(x^2)(t)+6y(t)) x'(t)-14y(t) z(t) y'(t)+20x(t) (z^2)(t) z'(t))dt

=(∫_0^1)((3(t^2)+6t) ·1-14t·t·1+20t (t^2)·1)dt=(∫_0^1)(20 (t^3)-11 (t^2)+6 t)dt=(13/3)

b)

𝔽=(3(x^2)+6y,-14y z,20x (z^2) )

Kurvan parametriseras med

𝕠=(0,0,0),(Subscript[𝕡, 1])=(1,0,0),(Subscript[𝕡, 2])=(1,1,0),(Subscript[𝕡, 3])=(1,1,1)

(OverHat[𝕩])=(1,0,0),(OverHat[𝕪])=(0,1,0),(OverHat[𝕫])=(0,0,1)

(Subscript[γ, 1])∶(Subscript[𝕣, 1])(t)=t (OverHat[𝕩]), t∶0->1

(Subscript[γ, 2])∶(Subscript[𝕣, 2])(t)=(Subscript[𝕡, 1])+t (OverHat[𝕪]), t∶0->1

(Subscript[γ, 3])∶(Subscript[𝕣, 3])(t)=(Subscript[𝕡, 2])+t (OverHat[𝕫]), t∶0->1

(∫_γ)𝔽·d𝕣=(∫_(Subscript[γ, 1]))𝔽·d𝕣+(∫_(Subscript[γ, 2]))𝔽·d𝕣+(∫_(Subscript[γ, 3]))𝔽·d𝕣=(∫_0^1)𝔽((Subscript[𝕣, 1])(t))·(Subscript[𝕣, 1]^′)(t)dt+(∫_0^1)𝔽((Subscript[𝕣, 2])(t))·(Subscript[𝕣, 2]^′)(t)dt+(∫_0^1)𝔽((Subscript[𝕣, 3])(t))·(Subscript[𝕣, 3]^′)(t)dt

=(∫_0^1)𝔽(t (OverHat[𝕩]))·(OverHat[𝕩])dt+(∫_0^1)𝔽((Subscript[𝕡, 1])+t (OverHat[𝕪]))·(OverHat[𝕪])dt+(∫_0^1)𝔽((Subscript[𝕡, 2])+t (OverHat[𝕫]))·(OverHat[𝕫])dt

=(∫_0^1)3(t^2)dt+(∫_0^1)0dt+(∫_0^1)20(t^2)dt=(23/3)

c)

𝔽=(3(x^2)+6y,-14y z,20x (z^2) )

Kurvan parametriseras med

γ∶𝕣(t)=(t,(t^2),(t^3)), t∶0->1

=>𝕣'(t)=(1,2t,3(t^2))

(∫_γ)𝔽·d𝕣=(∫_0^1)𝔽(𝕣(t))·𝕣'(t)dt

=(∫_0^1)(3(t^2)+6(t^2),-14(t^2) (t^3),20t ((((t^3)))^2) )·(1,2t,3(t^2))dt

=(∫_0^1)(60 (t^9)-28 (t^6)+9 (t^2) )dt=(Subscript[[6(t^10)-4(t^7)+3(t^3)], 0]^1)=5