SF1626 - Övning 13

Göran Andersson goeran@kth.se, 110511

10.8

Vektorfältet ges av:

𝔽=(((x,y,z))/((x^2)+(y^2)))

En parametrisering av ytan är:

ℭ∶(θ,z)(Overscript[→, 𝕣])((Sqrt[2])cos(θ),(Sqrt[2])sin(θ),z), 𝔇={(θ,z)∶0≤θ≤2π,-2≤z≤2}

Normalvektorn blir:

𝕟=(Subscript[𝕣, θ]^′)×(Subscript[𝕣, z]^′)=(-(Sqrt[2]) sin(θ),(Sqrt[2])cos(θ),0)×(0,0,1)=((Sqrt[2]) cos(θ),(Sqrt[2]) sin(θ),0)

Denna normal är utåtriktad,  (OverHat[𝕟])=𝕟/(Abs[𝕟]). Flödet ut genom ytan blir därmed

Φ=(∫_ℭ)𝔽·(OverHat[𝕟]) dS=(Underscript[∫∫, 𝔇])𝔽·(OverHat[𝕟]) (Underscript[(Underscript[(Abs[𝕟])dθ dz, ⏟]), dS])(Underscript[∫∫, 𝔇])𝔽·𝕟 dθ dz

=(Underscript[∫∫, 𝔇])((((Sqrt[2])cos(θ),(Sqrt[2])sin(θ),z))/2)·((Sqrt[2]) cos(θ),(Sqrt[2]) sin(θ),0)  dθ dz

=(Underscript[∫∫, 𝔇])1  dθ dx=(∫_0^(2π))dθ(∫_(-2)^2) dz =2π·4=8π

10.11

Vektorfältet ges av:

𝕦=(x,y,z+1)

En parametrisering av ytan är:

𝔖∶(r,θ)(Overscript[→, 𝕣])(r cos(θ),r sin(θ),1-(r^2)), 𝔇={(r,θ)∶0≤r≤1,0≤θ≤2π}

Normalvektorn blir:

𝕟=(Subscript[𝕣, r]^′)×(Subscript[𝕣, θ]^′)=(cos(θ),sin(θ),-2r)×(-r sin(θ),r cos(θ),0)=(2 (r^2) cos(θ),2 (r^2) sin(θ),r)

Denna normalvektor är uppåtriktad. Flödet upp genom ytan blir därmed

Φ=(∫_𝔖)𝕦·(OverHat[𝕟])dS=(Underscript[∫∫, 𝔇])𝕦·𝕟 dr dθ

=(Underscript[∫∫, 𝔇])(r cos(θ),r sin(θ),2-(r^2))·(2 (r^2) cos(θ),2 (r^2) sin(θ),r)  dr dθ

=(Underscript[∫∫, 𝔇])(2r+(r^3)) dr dθ=(∫_0^(2π))dθ(∫_0^1) (2r+(r^3)) dr=2π·(1+(1/4))=((5π)/2)

10.13

a)

En parametrisering av ytan med sfäriska koordinater är:

𝔏∶(θ,ϕ)(Overscript[→, 𝕣])((Sqrt[2]) sin(θ)cos(ϕ),(Sqrt[2]) sin(θ)sin(ϕ),(Sqrt[2])cos(θ)), 𝔇={(r,θ)∶(π/4)≤θ≤π,0≤ϕ≤2π}

b)

Normalvektorn blir:

𝕟=(Subscript[𝕣, θ]^′)×(Subscript[𝕣, ϕ]^′)=((Sqrt[2]) cos(θ) cos(ϕ),(Sqrt[2]) cos(θ) sin(ϕ),-(Sqrt[2]) sin(θ))×(-(Sqrt[2]) sin(θ) sin(ϕ),(Sqrt[2]) sin(θ) cos(ϕ),0)

=(2 (sin^2)(θ) cos(ϕ),2 (sin^2)(θ) sin(ϕ),2 sin(θ) cos(θ) )=(Sqrt[2])sin(θ) 𝕣

Denna normalvektor är utåtriktad. Flödet ut genom ytan blir därmed

Φ=(∫_𝔖)𝕦·(OverHat[𝕟])dS=(Underscript[∫∫, 𝔇])𝕦·𝕟 dθ dϕ=(Underscript[∫∫, 𝔇])c (𝕣/(r^3))·((Sqrt[2])sin(θ) 𝕣) dθ dϕ=c(Sqrt[2])(Underscript[∫∫, 𝔇])sin(θ) ((𝕣·𝕣)/(r^3)) dθ dϕ

(Overscript[=, r=(Sqrt[2])])(Underscript[c∫∫, 𝔇])sin(θ)  dθ dϕ=c(∫_(π/4)^π)sin(θ)dθ(∫_0^(2π))  dϕ=c·(1+(1/(Sqrt[2])))·2π=c π (2+(Sqrt[2]))

10.16

a)

𝕦=((x^2),3 y,(x^3))=>div(𝕦)=∇·𝕦=(∂/(∂x))(x^2)+(∂/(∂y))(3 y)+(∂/(∂z))(x^3)=2x+3+0=2x+3

b)

𝕦=𝕣=(x,y,z)=>div(𝕦)=∇·𝕦=(∂/(∂x))x+(∂/(∂y))y+(∂/(∂z))z=1+1+1=3

c)

Eftersom

(∂/(∂x))(r^(-3))=(∂/(∂x))((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-3/2))=-(3/2)((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-5/2))2x=-((3x)/(r^5))

får vi

𝕦=(𝕣/(r^3))=((x/(r^3)),(y/(r^3)),(z/(r^3)))=>div(𝕦)=∇·𝕦=(∂/(∂x))(x/(r^3))+(∂/(∂y))(y/(r^3))+(∂/(∂z))(z/(r^3))

=(1/(r^3))-((3(x^2))/(r^5))+(1/(r^3))-((3(y^2))/(r^5))+(1/(r^3))-((3(z^2))/(r^5))=(3/(r^3))-((3(r^2))/(r^5))=0

10.19

Fältet är:

𝕦=(4 x y,-2 (y^2),(z^3))=>div(𝕦)=∇·𝕦=4y-4y+3(z^2)=3(z^2)

Enligt Gauss’ sats är flödet

Φ=(∫_𝔖)𝕦·(OverHat[𝕟])dS=(Underscript[∫∫∫, 𝒦])div(𝕦) dx dy dz=(Underscript[∫∫, 𝔇])((∫_(-(Sqrt[1-(x^2)-(y^2)]))^(Sqrt[1-(x^2)-(y^2)]))3(z^2)dz )dx dy

=(Underscript[2∫∫, 𝔇])((∫_0^(Sqrt[1-(x^2)-(y^2)]))3(z^2)dz )dx dy=2(Underscript[∫∫, 𝔇])((Subscript[[(z^3)], 0]^(Sqrt[1-(x^2)-(y^2)])))dx dy=2(Underscript[∫∫, 𝔇])(((1-(x^2)-(y^2)))^(3/2))dx dy

=(Underscript[∫∫, 𝒟'])(((1-(r^2)))^(3/2))2r dr dθ=(∫_0^(2π))dθ(∫_0^1)  (((1-(r^2)))^(3/2))2r dr(Piecewise[{{t=1-(r^2)}, {dt=-2t dr}}])=2π (∫_0^1)  (t^(3/2))dt=2π·(2/5)=((4π)/5)

10.23

Området är

𝒦={(x,y,z)∶2≤(x^2)+(y^2)+(z^2)≤3}

Sfäriska koordinater ger:

𝒦'={(r,θ,ϕ)∶(Sqrt[2])≤r≤(Sqrt[3]),0≤θ≤π,0≤ϕ≤2π}

Eftersom

(∂/(∂x))(r^(-2))=(∂/(∂x))((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-1))=-((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-2))2x=-((2x)/(r^4))

får vi

𝕦=(𝕣/(r^2))=((x/(r^2)),(y/(r^2)),(z/(r^2)))=>div(𝕦)=∇·𝕦=(∂/(∂x))(x/(r^2))+(∂/(∂y))(y/(r^2))+(∂/(∂z))(z/(r^2))

=(1/(r^2))-x((2x)/(r^4))+(1/(r^2))-y((2y)/(r^4))+(1/(r^2))-z((2z)/(r^4))=(3/(r^2))-((2(r^2))/(r^4))=(1/(r^2))

Enligt Gauss’ sats är flödet ut genom 𝔖 lika med

Φ=(∫_𝔖)𝕦·(OverHat[𝕟])dS=(Underscript[∫∫∫, 𝒦])div(𝕦) dx dy dz(Overscript[=, sf.koord])(Underscript[∫∫∫, 𝒦'])(1/(r^2))(r^2)sin(θ) dr dθ dϕ

=(∫_(Sqrt[2])^(Sqrt[3]))   dr(∫_0^π)sin(θ)dθ(∫_0^(2π))dϕ=2π (∫_0^1)  (t^(3/2))dt=((Sqrt[3])-(Sqrt[2]))·2·2π=4π ((Sqrt[3])-(Sqrt[2]))

10.27

Vektorfältet är

𝔽=(x,y,(((z-1))^2))=>div(𝔽)=1+1+2(z-1)=2z

Definiera ytorna

𝔖={(x,y,z)∶(x^2)+(y^2)+(z^2)=1, z≥0}

𝔅={(x,y,z)∶(x^2)+(y^2)≤1, z=0}

och kroppen

𝒦={(x,y,z)∶(x^2)+(y^2)+(z^2)≤1, z≥0}

Enligt Gauss’ sats är flödet ut genom 𝔖⋃𝔅 lika med

(∫_𝔖)𝔽·(OverHat[𝕟])dS+(∫_𝔅)𝔽·(-(OverHat[𝕫]))dS=(Underscript[∫∫∫, 𝒦])div(𝔽) dx dy dz

(Overscript[=, sf.koord])(Underscript[∫∫∫, 𝒦'])2r cos(θ) (Underscript[(Underscript[(r^2)sin(θ), ⏟]), (Abs[J])])dr dθ dϕ=(∫_0^1) (r^3)  dr(∫_0^(π/2))sin(2θ)dθ(∫_0^(2π))dϕ=(1/4)·1·2π=(π/2)

Eftersom z=0 på ytan 𝔅 erhålls:

(∫_𝔅)𝔽·(-(OverHat[𝕫]))dS=(∫_𝔅)(x,y,(((0-1))^2))·(0,0,-1)dS=(∫_𝔅)(-1)dS=-π

∴(∫_𝔖)𝔽·(OverHat[𝕟])dS-π=(π/2)⇔(∫_𝔖)𝔽·(OverHat[𝕟])dS=((3π)/2)

10.52

Vektorfältet är

𝔽=(1,2,3)×(x,y,z)=(2 z-3 y,3 x-z,y-2 x)

rot(𝔽) blir:

∇×𝔽=(Det[({{(OverHat[𝕩]), (OverHat[𝕪]), (OverHat[𝕫])}, {(∂/(∂x)), (∂/(∂y)), (∂/(∂z))}, {2 z-3 y, 3 x-z, y-2 x}})])=(2,4,6)

Kurvan γ är en cirkel, med radien 1, orienterad enligt fig. med samma normalvektor som panet. Enhetevektorn blir

(OverHat[𝕟])=(𝕟/(Abs[𝕟]))=(((1,1,1))/(Sqrt[3]))

Låt ℭ vara cirkelytan som omsluts av γ. Stokes sats ger:

W=(∫_γ)𝔽·d𝕣=(∫_ℭ)(∇×𝔽)·(OverHat[𝕟])dS=(∫_ℭ)(2,4,6)·(((1,1,1))/(Sqrt[3]))dS

(12/(Sqrt[3]))(∫_ℭ)dS=(12/(Sqrt[3]))π·(1^2)=4(Sqrt[3])π

10.53

Vektorfältet är

𝔽=(x y z,x (y^2) (z^3)-z,x (y^3) (z^2))

rot(𝔽) blir:

∇×𝔽=(Det[({{(OverHat[𝕩]), (OverHat[𝕪]), (OverHat[𝕫])}, {(∂/(∂x)), (∂/(∂y)), (∂/(∂z))}, {x y z, x (y^2) (z^3)-z, x (y^3) (z^2)}})])=(1,x y-(y^3) (z^2),(y^2) (z^3)-x z)

Kurvan γ är en cirkel, med radien 1, orienterad enligt fig. med normalvektor

(OverHat[𝕟])=(1,0,0)

Låt ℭ vara cirkelytan som omsluts av γ. Stokes sats ger:

W=(∫_γ)𝔽·d𝕣=(∫_ℭ)(∇×𝔽)·(OverHat[𝕟])dS=(∫_ℭ)(1,x y-(y^3) (z^2),(y^2) (z^3)-x z)·(1,0,0)dS

=(∫_ℭ)dS=π·(1^2)=π