SF1626 - Övning 2

Göran Andersson goeran@kth.se, 110324

2.2

Sätt 𝕩=((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])), ∇f=((Subscript[f, (Subscript[x, 1])]^′)(𝕩),(Subscript[f, (Subscript[x, 2])]^′)(𝕩),(Subscript[f, (Subscript[x, 3])]^′)(𝕩)).

a)

f(𝕩)=ln(Abs[(Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3]) (Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 3])])

(Subscript[f, (Subscript[x, 1])]^′)(𝕩)=(1/((Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3]) (Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 3])))((Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3]))

=>∇f=(1/((Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3]) (Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 3])))((Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3]),(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 3]),(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2]))

b)

f(𝕩)=((((Subscript[x, 1]^2)+(Subscript[x, 2]^2)+(Subscript[x, 3]^2)))^(1/2))

(Subscript[f, (Subscript[x, 1])]^′)(𝕩)=(1/2)((((Subscript[x, 1]^2)+(Subscript[x, 2]^2)+(Subscript[x, 3]^2)))^(-1/2))2(Subscript[x, 1])=(Subscript[x, 1]) ((((Subscript[x, 1]^2)+(Subscript[x, 2]^2)+(Subscript[x, 3]^2)))^(-1/2))

=>∇f=((((Subscript[x, 1]^2)+(Subscript[x, 2]^2)+(Subscript[x, 3]^2)))^(-1/2))((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3]))=(𝕩/(Abs[𝕩]))=(Subscript[e, 𝕩])

c)

f(𝕩)=(Subscript[x, 1]^(((Subscript[x, 2]^(Subscript[x, 3])))))

(Subscript[f, (Subscript[x, 1])]^′)(𝕩)=(∂/(∂(Subscript[x, 1])))((Subscript[x, 1]^(((Subscript[x, 2]^(Subscript[x, 3]))))))=(Subscript[x, 2]^(Subscript[x, 3]))(Subscript[x, 1]^(((Subscript[x, 2]^(Subscript[x, 3])))-1))

(Subscript[f, (Subscript[x, 2])]^′)(𝕩)=(∂/(∂(Subscript[x, 2])))((e^((Subscript[x, 2]^(Subscript[x, 3]))ln((Subscript[x, 1])))))=(e^((Subscript[x, 2]^(Subscript[x, 3]))ln((Subscript[x, 1]))))(∂/(∂(Subscript[x, 2])))((Subscript[x, 2]^(Subscript[x, 3]))ln((Subscript[x, 1])))=(Subscript[x, 1]^(((Subscript[x, 2]^(Subscript[x, 3])))))(Subscript[x, 3])(Subscript[x, 2]^((Subscript[x, 3])-1))ln((Subscript[x, 1]))

(Subscript[f, (Subscript[x, 3])]^′)(𝕩)=(∂/(∂(Subscript[x, 3])))((e^((e^((Subscript[x, 3])ln((Subscript[x, 2]))))ln((Subscript[x, 1])))))=((e^((e^((Subscript[x, 3])ln((Subscript[x, 2]))))ln((Subscript[x, 1])))))(∂/(∂(Subscript[x, 3])))((e^((Subscript[x, 3])ln((Subscript[x, 2]))))ln((Subscript[x, 1])))=

==(Subscript[x, 1]^(((Subscript[x, 2]^(Subscript[x, 3])))))(e^((Subscript[x, 3])ln((Subscript[x, 2]))))ln((Subscript[x, 1]))ln((Subscript[x, 2]))=(Subscript[x, 1]^(((Subscript[x, 2]^(Subscript[x, 3])))))(Subscript[x, 2]^(Subscript[x, 3]))ln((Subscript[x, 1]))ln((Subscript[x, 2]))

=>∇f=(Subscript[x, 2]^(Subscript[x, 3]))(Subscript[x, 1]^(((Subscript[x, 2]^(Subscript[x, 3])))))((1/(Subscript[x, 1])),(((Subscript[x, 3])ln((Subscript[x, 1])))/(Subscript[x, 2])),ln((Subscript[x, 1]))ln((Subscript[x, 2])))

2.9

Differentialen dP blir

P=((U^2)/R)=>dP=∇P·(dU,dR)=((∂P)/(∂U))dU+((∂P)/(∂R))dR=((2U)/R)dU-((U^2)/(R^2))dR

=>ΔP≈((2U)/R)ΔU-((U^2)/(R^2))ΔR=((2×220)/9)5-((((220/9)))^2)0.3W≈65W

2.11

Alternativ 1

Inför

f(x,y)=(x^2)+4(y^2)

∇f=((Subscript[f, x]^′)(x,y),(Subscript[f, y]^′)(x,y))=(2x,8y)

Taylorpolynomet av grad 1 kring (1,1) ger tangentplanet.

z=f(1,1)+ (Subscript[f, x]^′)(1,1)(x-1)+ (Subscript[f, y]^′)(1,1)(y-1)

⇔z=5+2(x-1)+8(y-1)⇔z+5=2 x+8 y-5

Alternativ 2

Inför 𝕩=(x,y,z)

f(𝕩)=z-(x^2)-4(y^2)

Punkten (Subscript[𝕩, 0])=(1,1,5) ligger då på nivåytan f(𝕩)=0. Gradienten ∇f((Subscript[𝕩, 0])) blir:

∇f(𝕩)=(-2x,-8y,1)=>∇f((Subscript[𝕩, 0]))=(-2×1,-8×1,1)=(-2,-8,1)

Gradienten ∇f((Subscript[𝕩, 0])) är vinkelrät mot alla vektorer 𝕩-(Subscript[𝕩, 0]) i tangentplanet:

∇f((Subscript[𝕩, 0]))·(𝕩-(Subscript[𝕩, 0]))=0⇔(-2,-8,1)·((x,y,z)-(1,1,5))=0

⇔-2(x-1)-8(y-1)+1(z-5)=0⇔-2 x-8 y+z+5=0

2.13

a)

Se lösning i övningsboken

b)

Se lösning i övningsboken. Observera att vi även kan skriva

((du)/(dt))=((∂𝕣)/(∂t))·((∂f)/(∂𝕣))=(({{((∂x)/(∂t)), ((∂y)/(∂t))}}))·(({{((∂f)/(∂x))}, {((∂f)/(∂y))}}))=(({{-sin(t), cos(t)}}))·(({{2 x y (e^((x^2) y))+y}, {(x^2) (e^((x^2) y))+x}}))

==-sin(t) (2 x y (e^((x^2) y))+y)+cos(t) ((x^2) (e^((x^2) y))+x)

==-2 (sin^2)(t) cos(t) (e^(sin(t) (cos^2)(t)))+(cos^3)(t) (e^(sin(t) (cos^2)(t)))-(sin^2)(t)+(cos^2)(t)

==(1/4) (cos(t)+3 cos(3 t)) (e^(sin(t) (cos^2)(t)))+cos(2 t)

2.15

a)

Se lösning i övningsboken. Observera dock att villkoret innebär att ∇u och (3,-2) är ortogonala.

∇u·(3,-2)=((Subscript[u, x]^′)(x,y),(Subscript[u, y]^′)(x,y))·(3,-2)=

==3(Subscript[u, x]^′)(x,y)-2(Subscript[u, y]^′)(x,y)=3f'(2x+3y)×2-2f'(2x+3y)×3=0

b)

Se lösning i övningsboken. Observera dock att villkoret innebär att ∇f och (x,-y) är ortogonala.

∇u·(x,-y)=((Subscript[u, x]^′)(x,y),(Subscript[u, y]^′)(x,y))·(x,-y)=

==x (Subscript[u, x]^′)(x,y)-y (Subscript[u, y]^′)(x,y)=x f'(x y)×y-y f'(x y)×x=0

2.17

f(x,y)=(1/(Sqrt[x y]))g((x/y))=(x^(-1/2))(y^(-1/2))g(x (y^(-1))), x>0, y>0

=>(Subscript[f, x]^′)(x,y)=(-(1/2))(x^(-3/2))(y^(-1/2))g(x (y^(-1)))+(x^(-1/2))(y^(-1/2))(∂/(∂x))g(x (y^(-1)))=

=(-(1/2))(x^(-3/2))(y^(-1/2))g(x (y^(-1)))+(x^(-1/2))(y^(-1/2))g'(x (y^(-1)))(y^(-1))=(1/(Sqrt[x y]))(-(1/(2x))g((x/y))+(1/y)g'((x/y)))

=>(Subscript[f, y]^′)(x,y)=(x^(-1/2))(-(1/2))(y^(-3/2))g(x (y^(-1)))+(x^(-1/2))(y^(-1/2))(∂/(∂y))g(x (y^(-1)))=

=(-(1/2))(x^(-1/2))(y^(-3/2))g(x (y^(-1)))+(x^(-1/2))(y^(-1/2))g'(x (y^(-1)))x (-1)(y^(-2))=(1/(Sqrt[x y]))(-(1/(2y))g((x/y))-(x/(y^2))g'((x/y)))

∴x (Subscript[f, x]^′)(x,y)+y (Subscript[f, y]^′)(x,y)+f(x,y)

=(1/(Sqrt[x y]))(x (-(1/(2x))g((x/y))+(1/y)g'((x/y)))+y (-(1/(2y))g((x/y))-(x/(y^2))g'((x/y)))+g((x/y)))

=(1/(Sqrt[x y]))(-(1/2)g((x/y))+(x/y)g'((x/y))-(1/2)g((x/y))-(x/y)g'((x/y))+g((x/y)))=(1/(Sqrt[x y]))×0=0

V.S.V.

2.19

Se lösning i övningsboken. Här är ett alternativ.

(Piecewise[{{u=x/y}, {v=y/z}}])

𝕩=(({{x, y, z}})), 𝕦=(({{u, v}}))

Kedjeregeln ger med generella beteckningar (transponering på lämpliga ställen)

((∂h)/(∂𝕩))=((∂𝕦)/(∂𝕩))·((∂f)/(∂𝕦))

⇔(({{((∂h)/(∂x))}, {((∂h)/(∂y))}, {((∂h)/(∂z))}}))=(({{((∂u)/(∂x)), ((∂v)/(∂x))}, {((∂u)/(∂y)), ((∂v)/(∂y))}, {((∂u)/(∂z)), ((∂v)/(∂z))}}))·(({{((∂f)/(∂u))}, {((∂f)/(∂v))}}))=(({{(1/y), 0}, {-(x/(y^2)), (1/z)}, {0, -(y/(z^2))}}))·(({{((∂f)/(∂u))}, {((∂f)/(∂v))}}))

∴𝕩·((∂h)/(∂𝕩))=(({{x, y, z}}))·(({{(1/y), 0}, {-(x/(y^2)), (1/z)}, {0, -(y/(z^2))}}))·(({{((∂f)/(∂u))}, {((∂f)/(∂v))}}))=(({{0, 0}}))·(({{((∂f)/(∂u))}, {((∂f)/(∂v))}}))=0

2.21

a)

(Piecewise[{{u=x-k y}, {v=x+k y}}])

Kedjeregeln ger:

((∂f)/(∂x))=((∂f)/(∂u))((∂u)/(∂x))+((∂f)/(∂v))((∂v)/(∂x))=((∂f)/(∂u))1+((∂f)/(∂v))1=((∂f)/(∂u))+((∂f)/(∂v))

((∂f)/(∂y))=((∂f)/(∂u))((∂u)/(∂y))+((∂f)/(∂v))((∂v)/(∂y))=((∂f)/(∂u))(-k)+((∂f)/(∂v))k=k (-((∂f)/(∂u))+((∂f)/(∂v)))

Notera att detta kan skrivas:

((∂f)/(∂𝕣))=((∂𝕦)/(∂𝕣))·((∂f)/(∂𝕦))⇔(({{((∂f)/(∂x))}, {((∂f)/(∂y))}}))=(({{((∂u)/(∂x)), ((∂v)/(∂x))}, {((∂u)/(∂y)), ((∂v)/(∂y))}}))·(({{((∂f)/(∂u))}, {((∂f)/(∂v))}}))=(({{1, 1}, {-k, k}}))·(({{((∂f)/(∂u))}, {((∂f)/(∂v))}}))

b)

Substitutionen i a) ger

2((∂f)/(∂x))+((∂f)/(∂y))=2(((∂f)/(∂u))+((∂f)/(∂v)))+k (-((∂f)/(∂u))+((∂f)/(∂v)))

==(2-k)((∂f)/(∂u))+(2+k)((∂f)/(∂v))

Om vi väljer k=2 reduceras ekvationen.

2((∂f)/(∂x))+((∂f)/(∂y))=0(Overscript[⇔, k=2])(2-2)((∂f)/(∂u))+(2+2)((∂f)/(∂v)) =0⇔((∂f)/(∂v)) =0

⇔f(u,v) =g(u)

Eftersom u=x-k u=x-2y kan lösningen skrivas

f(x,y)=g(x-2y)

Begynnelsevillkoret ger nu

f(x,0)=sin(x)=>g(x)=sin(x)=>f(x,y)=sin(x-2y)

2.22

Se lösning i övningsboken. Här är ett alternativ.

(Piecewise[{{u=x y}, {v=(x/y)}}]), x>0,y>0

𝕩=(({{x, y}})), 𝕦=(({{u, v}}))

Kedjeregeln ger:

((∂f)/(∂𝕩))=((∂𝕦)/(∂𝕩))·((∂f)/(∂𝕦))⇔(({{((∂f)/(∂x))}, {((∂f)/(∂y))}}))=(({{((∂u)/(∂x)), ((∂v)/(∂x))}, {((∂u)/(∂y)), ((∂v)/(∂y))}}))·(({{((∂f)/(∂u))}, {((∂f)/(∂v))}}))=(({{y, (1/y)}, {x, -(x/(y^2))}}))·(({{((∂f)/(∂u))}, {((∂f)/(∂v))}}))

∴𝕩·((∂f)/(∂𝕩))+f=(({{x, y}}))·(({{y, (1/y)}, {x, -(x/(y^2))}}))·(({{((∂f)/(∂u))}, {((∂f)/(∂v))}}))+f=(({{2x y, 0}}))·(({{((∂f)/(∂u))}, {((∂f)/(∂v))}}))+f

==2x y ((∂f)/(∂u))+f=2u((∂f)/(∂u))+f

Den givna DEn kan nu skrivas:

2u((∂f(u,v))/(∂u))+f(u,v)=0⇔((∂f(u,v))/(∂u))+(1/(2u))f(u,v)=0⇔(∂/(∂u))((e^((1/2)ln(u)))f(u,v))=0

⇔(Sqrt[u])f(u,v)=g(v)⇔f(u,v)=(1/(Sqrt[u]))g(v)⇔f(x,y)=(1/(Sqrt[x y]))g((x/y))=(1/y)ℊ((x/y))=(1/x)𝔤((y/x))