SF1626 - Övning 3

Göran Andersson goeran@kth.se, 110330

2.28

a)

f(x,y)=((((x^2)+(y^2)))^n)

∇f=((Subscript[f, x]^′)(x,y),(Subscript[f, y]^′)(x,y))=(n ((((x^2)+(y^2)))^(n-1))2x,n ((((x^2)+(y^2)))^(n-1))2y)=2n ((((x^2)+(y^2)))^(n-1)) (x,y)

kompakt skrivsätt∶f(𝕩)=((Abs[𝕩])^(2n))=>∇f(𝕩)=f(𝕩)((2n 𝕩)/((Abs[𝕩])^2))

b)

f(x,y,z)=(e^(x y z))

∇f=(((∂f)/(∂x)),((∂f)/(∂y)),((∂f)/(∂z)))=((e^(x y z))y z,(e^(x y z))x z,(e^(x y z))x y)=(e^(x y z))(y z,x z,x y)

c)

f(x,y)=ln((((x-a))^2)+(((y-b))^2))

∇f=(((∂f)/(∂x)),((∂f)/(∂y)))=(((2(x-a))/((((x-a))^2)+(((y-b))^2))),((2(y-b))/((((x-a))^2)+(((y-b))^2))))=(((2(x-a),2(y-b)))/((((x-a))^2)+(((y-b))^2)))

kompakt skrivsätt∶f(𝕩)=ln((Abs[𝕩-𝕒])^2)=>∇f(𝕩)=((2(𝕩-𝕒))/((Abs[𝕩-𝕒])^2))

d)

f(𝕩)=(Abs[𝕩])=((((Subscript[x, 1]^2)+…+(Subscript[x, n]^2)))^(1/2))

∇f=(((∂f)/(∂(Subscript[x, 1]))),…,((∂f)/(∂(Subscript[x, n]))))=(((Subscript[x, 1])/((((Subscript[x, 1]^2)+…+(Subscript[x, n]^2)))^(1/2))),…,((Subscript[x, n])/((((Subscript[x, 1]^2)+…+(Subscript[x, n]^2)))^(1/2))))=((((Subscript[x, 1]),…,(Subscript[x, n])))/((((Subscript[x, 1]^2)+…+(Subscript[x, n]^2)))^(1/2)))=(𝕩/(Abs[𝕩]))=(OverHat[𝕩])

2.30

Låt 𝕧 vara en normerad vektor. Riktningsderivatan (Subscript[f, 𝕧]^′)(𝕒) definieras av

(Subscript[f, 𝕧]^′)(𝕒)=(Subscript[[f'(𝕒+t 𝕧)], t=0])

I t.ex. 3D får vi:

f'(𝕣)=((∂f)/(∂x))((∂x)/(∂t))+((∂f)/(∂y))((∂y)/(∂t))+((∂f)/(∂z))((∂z)/(∂t))=∇f(𝕣)·𝕣'(t)

Om 𝕣=𝕒+t 𝕧 är 𝕣'(t)=𝕧 och 𝕣(0)=𝕒

∴(Subscript[f, 𝕧]^′)(𝕒)=∇f(𝕒)·𝕧

Vår funktion är

f(x,y,z)=((x (y^2)(z^3))/(2+x))

Med 𝕒=(2,2,1) blir f(𝕒)=2. Figuren ovan visar nivåytan f(𝕩)=2. 
I punkten 𝕒 är riktningen 𝕧=(((-4,2,-4))/(Abs[(-4,2,-4)]))=(1/3)(-2,1,-2) utritad.

∇f(𝕩)=(((∂f)/(∂x)),((∂f)/(∂y)),((∂f)/(∂z)))=((((y^2) (z^3))/(2+x))-((x (y^2) (z^3))/(((2+x))^2)),((2 x y (z^3))/(x+2)),((3 x (y^2) (z^2))/(x+2)))=(((2 (y^2) (z^3))/(((x+2))^2)),((2 x y (z^3))/(x+2)),((3 x (y^2) (z^2))/(x+2)))

==f(𝕩)((2/(x (x+2))),(2/y),(3/z))=>∇f(𝕒)=2((2/(2 (2+2))),(2/2),(3/1))=2 ((1/4),1,3)=((1/2),2,6)

Den efterfrågade riktningsderivatan blir därmed

(Subscript[f, 𝕧]^′)(𝕒)=∇f(𝕒)·𝕧=((1/2),2,6)·(1/3)(-2,1,-2)=-(11/3)

2.33

Berget definieras av

z=(1/100)(50-(x^2)-(y^2)), (x^2)+(y^2)≤50

Sätt 𝕩=(x,y), 𝕒=(7,-1),𝕓=(-1,3).

∇z=(((∂z)/(∂x)),((∂z)/(∂y)))=-(1/50)(x,y)=-(1/50)𝕩

𝕧=((𝕓-𝕒)/(Abs[𝕓-𝕒]))=(((-8,4))/(Sqrt[80]))=(1/(Sqrt[5]))(-2,1)

Vi söker de punkter där (Subscript[z, 𝕧]^′)=0,max,min.

(Subscript[z, 𝕧]^′)=∇z·𝕧=-(1/50)𝕩·𝕧=-(1/50)(𝕒+t 𝕧)·(1/(Sqrt[5]))(-2,1)=t-3(Sqrt[5])

(Subscript[z, 𝕧]^′)=0⇔t=3(Sqrt[5])=>(Subscript[𝕩, 0])=𝕒+3(Sqrt[5]) 𝕧=(1,2)

Av uttrycket (Subscript[z, 𝕧]^′)=t-3(Sqrt[5]) framgår direkt att max och min inträffar vid (Subscript[t, max]) resp (Subscript[t, min]), dvs. vid startpunkt resp. slutpunkt.

(Subscript[((Subscript[z, 𝕧]^′)), max])=(Subscript[((Subscript[z, 𝕧]^′)), 𝕩=𝕒])=-(1/50)𝕒·𝕧=(3/(10(Sqrt[5]))),(Subscript[((Subscript[z, 𝕧]^′)), min])=(Subscript[((Subscript[z, 𝕧]^′)), 𝕩=𝕓])=-(1/50)𝕓·𝕧=-(1/(10(Sqrt[5])))

Rasten tas vid

((Subscript[𝕩, 0]),z((Subscript[𝕩, 0])))=(1,2,(9/20)) km

2.34

a)

Inför 𝕩=(x,y). Vår funktion är

f(𝕩)=x y sin(x)

Med (Subscript[𝕩, 0])=((π/2),1) blir f((Subscript[𝕩, 0]))=(π/2). Figuren ovan visar nivåkurvan f(𝕩)=(π/2). Funktionen f växer snabbast i gradientens ∇f riktning. ∇f är vinkelrät mot nivåkurvans tangent.

∇f(𝕩)=(((∂f)/(∂x)),((∂f)/(∂y)))=(y sin(x)+x y cos(x),x sin(x))=>∇f((Subscript[𝕩, 0]))=(1,(π/2))=>(Abs[∇f((Subscript[𝕩, 0]))])=(Sqrt[1+((((π/2)))^2)])

Riktningen är alltså (1,(π/2)) och tilväxttakten (Sqrt[1+((((π/2)))^2)]).

b)

Riktningen 𝕧 är

𝕧=(((-3,4))/(Abs[(-3,4)]))=(1/5)(-3,4)

(Subscript[z, 𝕧]^′)=∇z·𝕧=(1,(π/2))·(((-3,4))/5)=(1/5)(2π-3)

c)

Inför 𝕏=(x,y,z)

F(𝕏)=z-f(𝕩)=z-x y sin(x)

Punkten (Subscript[𝕏, 0])=((π/2),1,(π/2)) ligger då på nivåytan F(𝕏)=0. Gradienten ∇F((Subscript[𝕏, 0])) blir:

∇F(𝕏)=(-y sin(x)-x y cos(x),-x sin(x),1)=>∇F((Subscript[𝕏, 0]))=(-1,-(π/2),1)

Gradienten ∇F((Subscript[𝕏, 0])) är vinkelrät mot alla vektorer 𝕏-(Subscript[𝕏, 0]) i tangentplanet:

∇F((Subscript[𝕏, 0]))·(𝕏-(Subscript[𝕏, 0]))=0⇔(-1,-(π/2),1)·((x,y,z)-((π/2),1,(π/2)))=0

-x-(π/2)y+z+(π/2)=0

2.37

Vår funktion är

T(x,y)=(20/π) arctan(((2 cos(x))/((e^y)-(e^(-y)))))

Funktionen T växer snabbast i gradientens ∇T riktning. Detta är den riktning i vilken myran ska krypa.

∇T(𝕩)=(((∂T)/(∂x)),((∂T)/(∂y)))=(20/π)(((-((2 sin(x))/((e^y)-(e^(-y)))))/(1+(((((2 cos(x))/((e^y)-(e^(-y))))))^2))),((-((2 cos(x))/((((e^y)-(e^(-y))))^2))((e^y)+(e^(-y))))/(1+(((((2 cos(x))/((e^y)-(e^(-y))))))^2))))

=(20/π)(1/(1+(((((2 cos(x))/((e^y)-(e^(-y))))))^2)))(-((2 sin(x))/((e^y)-(e^(-y)))),-((2 cos(x))/((((e^y)-(e^(-y))))^2))((e^y)+(e^(-y))))

Med (Subscript[𝕩, 0])=((π/3),ln(2)) erhålls ∇T((Subscript[𝕩, 0]))=-(40/(13π))(3(Sqrt[3]),5). Kryp alltså i riktningen -(3(Sqrt[3]),5).

Observera att ∇T(𝕩) kan förenklas till

∇T(𝕩)=-(20/π)(1/(((sinh(y))/(cos(x)))+((cos(x))/(sinh(y)))))(tan(x),coth(y))

2.43

a)

Inför 𝕩=(x,y,z)

f(𝕩)=x (z^5)+x y z-9

Punkten (Subscript[𝕩, 0])=(3,2,1) ligger då på nivåytan N:f(𝕩)=0. Gradienten ∇f((Subscript[𝕩, 0])) blir:

∇f(𝕩)=((z^5)+y z,x z,5x (z^4)+x y)=>∇f((Subscript[𝕩, 0]))=(3,3,21)

Gradienten ∇f((Subscript[𝕩, 0])) är vinkelrät mot alla vektorer 𝕩-(Subscript[𝕩, 0]) i tangentplanet:

∇f((Subscript[𝕩, 0]))·(𝕩-(Subscript[𝕩, 0]))=0⇔(3,3,21)·((x,y,z)-(3,2,1))=0

⇔3 x+3 y+21 z-36=0⇔x+y+7z-12=0

b)

Vi approximerar punkten (Subscript[𝕩, 1])=(3.4,2.3,z) med punkten på tangentplanet:

3.4+2.3+7z-12≈0=>z≈0.9

Numerisk lösning ger: x=0.8975856001410494657617884...

2.50

Inför 𝕩=(x,y,z)

f(𝕩)=sin((x^2)+(y^2))+ x y z

Gradienten blir

∇f=(((∂f)/(∂x)),((∂f)/(∂y)),((∂f)/(∂z)))=(2 x cos((x^2)+(y^2))+y z,2 y cos((x^2)+(y^2))+x z,x y)

Hessianen blir:

ℋ f=(({{(((∂^2)f)/(∂(x^2))), (((∂^2)f)/(∂x ∂y)), (((∂^2)f)/(∂x ∂z))}, {(((∂^2)f)/(∂y ∂x)), (((∂^2)f)/(∂(y^2))), (((∂^2)f)/(∂y ∂z))}, {(((∂^2)f)/(∂z ∂x)), (((∂^2)f)/(∂z ∂y)), (((∂^2)f)/(∂(z^2)))}}))=(({{2 cos((x^2)+(y^2))-4 (x^2) sin((x^2)+(y^2)), z-4 x y sin((x^2)+(y^2)), y}, {z-4 x y sin((x^2)+(y^2)), 2 cos((x^2)+(y^2))-4 (y^2) sin((x^2)+(y^2)), x}, {y, x, 0}}))

2.51

Se lösning i övningsboken.

2.53

Med T(r,t)=f(s) och s=(r/(Sqrt[t])) erhålls

((∂T)/(∂t))=((∂s)/(∂t))((∂f)/(∂s))=-(r/(2 (t^(3/2))))f'(s)=-(s/(2t))f'(s), ((∂T)/(∂r))=((∂s)/(∂r))((∂f)/(∂s))=(1/(Sqrt[t]))f'(s)

(((∂^2)T)/(∂(r^2)))=(∂/(∂r))(((∂T)/(∂r)))=(∂/(∂r))((1/(Sqrt[t]))f'(s))(1/(Sqrt[t])) ((∂s)/(∂r))f''(s)=(1/t)f''(s)

DEn kan därmed skrivas:

((∂T)/(∂t))=(((∂^2)T)/(∂(r^2)))-(1/r)((∂T)/(∂r))⇔-(s/(2t))f'(s)=(1/t)f''(s)-(1/r)(1/(Sqrt[t]))f'(s)

⇔-(s/2) f'(s)=f''(s)-(1/s)f'(s)⇔f''(s)+((s/2)-(1/s))f'(s)=0

⇔(∂/(∂s))((e^(((((s/2)))^2)-ln(s)))f'(s))=0⇔(∂/(∂s))((e^((((s/2)))^2))((f'(s))/s))=0

⇔(e^((((s/2)))^2))((f'(s))/s)=C⇔f'(s)=C s (e^(-((((s/2)))^2)))

⇔f(s)=C∫s (e^(-((((s/2)))^2))) ds+(Subscript[C, 2])⇔f(s)=-2C (e^(-((((s/2)))^2)))+(Subscript[C, 2])

⇔f(s)=(Subscript[C, 1])(e^(-((((s/2)))^2)))+(Subscript[C, 2])⇔T(r,t)=(Subscript[C, 1])(e^(-((r^2)/(4t))))+(Subscript[C, 2])

2.55

Sätt

({{{, ({{u=x+y}, {v=x y}})}})

(Subscript[f, x]^′)=(Subscript[u, x]^′)(Subscript[f, u]^′)+(Subscript[v, x]^′)(Subscript[f, v]^′)=1(Subscript[f, u]^′)+y (Subscript[f, v]^′)=(Subscript[f, u]^′)+y (Subscript[f, v]^′)

(Subscript[f, x,y]^(′′))=(∂/(∂y))((Subscript[f, u]^′)+y (Subscript[f, v]^′))=(∂/(∂y))((Subscript[f, u]^′))+(Subscript[f, v]^′)+y(∂/(∂y))((Subscript[f, v]^′))

=(Subscript[u, y]^′)(Subscript[f, u,u]^(′′))+(Subscript[v, y]^′)(Subscript[f, u,v]^(′′))+(Subscript[f, v]^′)+y ((Subscript[u, y]^′)(Subscript[f, v,u]^(′′))+(Subscript[v, y]^′)(Subscript[f, v,v]^(′′)))

=1(Subscript[f, u,u]^(′′))+x (Subscript[f, u,v]^(′′))+(Subscript[f, v]^′)+y (1(Subscript[f, v,u]^(′′))+x (Subscript[f, v,v]^(′′)))

=(Subscript[f, u,u]^(′′))+(x+y) (Subscript[f, u,v]^(′′))+(Subscript[f, v]^′)+y x (Subscript[f, v,v]^(′′))

=(Subscript[f, u,u]^(′′))+u (Subscript[f, u,v]^(′′))+(Subscript[f, v]^′)+v (Subscript[f, v,v]^(′′))

2.61

a)

Funktionen är

f(x,y)=(((1+x+(y^2)))^(1/2))

De partiella derivatorna blir

(Subscript[f, x]^′)(x,y)=(1/2)(((1+x+(y^2)))^(-1/2))×1=(1/2)(((1+x+(y^2)))^(-1/2))

(Subscript[f, y]^′)(x,y)=(1/2)(((1+x+(y^2)))^(-1/2))×2y=y (((1+x+(y^2)))^(-1/2))

(Subscript[f, xx]^(′′))(x,y)=(1/2)(-(1/2))(((1+x+(y^2)))^(-3/2))×1=-(1/4)(((1+x+(y^2)))^(-3/2))

(Subscript[f, xy]^(′′))(x,y)=(1/2)(-(1/2))(((1+x+(y^2)))^(-3/2))×2y=-(y/2)(((1+x+(y^2)))^(-3/2))

(Subscript[f, yy]^(′′))(x,y)=1×(((1+x+(y^2)))^(-1/2))+y (-(1/2))(((1+x+(y^2)))^(-3/2))×2y=(((1+x+(y^2)))^(-1/2))-(((y^2)(1+x+(y^2)))^(-3/2))

I punkten (0,0) får vi:

f(0,0)=(((1+0+(0^2)))^(1/2))=1

(Subscript[f, x]^′)(0,0)=(1/2)(((1+0+(0^2)))^(-1/2))=(1/2)

(Subscript[f, y]^′)(0,0)=0 (((1+0+(0^2)))^(-1/2))=0

(Subscript[f, xx]^(′′))(0,0)=-(1/4)(((1+0+(0^2)))^(-3/2))=-(1/4)

(Subscript[f, xy]^(′′))(0,0)=-(0/2)(((1+0+(0^2)))^(-3/2))=0

(Subscript[f, yy]^(′′))(0,0)=(((1+0+(0^2)))^(-1/2))-(0^2)(((1+0+(0^2)))^(-3/2))=1

Taylorpolynomet av ordning 2 kan därmed skrivas:

(Subscript[P, 1])(h,k)=(1/(0!))f(0,0)+(1/(1!))((Subscript[f, x]^′)(0,0)h+(Subscript[f, y]^′)(0,0)k)+(1/(2!))((Subscript[f, xx]^(′′))(0,0)(h^2)+2(Subscript[f, xy]^(′′))(0,0)h k+(Subscript[f, yy]^(′′))(0,0)(k^2))

=1+(1/2)h+0+(1/2)(-(1/4)(h^2)+0+(k^2))=1+(1/2)h-(1/8)(h^2)+(1/2)(k^2)

b)

Funktionen är

f(x,y)=(((x+1))^(y+1))=(e^((y+1)ln(x+1)))

De partiella derivatorna blir

(Subscript[f, x]^′)(x,y)=(e^((y+1)ln(x+1)))((y+1)/(x+1))=((y+1)/(x+1))(((x+1))^(y+1))=(((x+1))^y)(y+1)

(Subscript[f, y]^′)(x,y)=(e^((y+1)ln(x+1)))ln(x+1)=(((x+1))^(y+1))ln(x+1)

(Subscript[f, xx]^(′′))(x,y)=(y+1)(e^(y ln(x+1)))(y/(x+1))=((y+1)/(x+1))y (((x+1))^y)=(((x+1))^(y-1))y (y+1)

(Subscript[f, xy]^(′′))(x,y)=1×(((x+1))^y)+(y+1)(e^(y ln(x+1)))ln(x+1)=(((x+1))^y)(1+(y+1)ln(x+1))

(Subscript[f, yy]^(′′))(x,y)=ln(x+1)(e^((y+1)ln(x+1)))ln(x+1)=(((x+1))^(y+1))(ln^2)(x+1)

I punkten (0,0) får vi:

f(0,0)=(((0+1))^(0+1))=1

(Subscript[f, x]^′)(0,0)=(((0+1))^0)(0+1)=1

(Subscript[f, y]^′)(0,0)=(((0+1))^(0+1))ln(0+1)=0

(Subscript[f, xx]^(′′))(0,0)=(((0+1))^(0-1))0 (0+1)=0

(Subscript[f, xy]^(′′))(0,0)=(((0+1))^0)(1+(0+1)ln(0+1))=1

(Subscript[f, yy]^(′′))(0,0)=(((0+1))^(0+1))(ln^2)(0+1)=0

Taylorpolynomet av ordning 2 kan därmed skrivas:

(Subscript[P, 1])(h,k)=(1/(0!))f(0,0)+(1/(1!))((Subscript[f, x]^′)(0,0)h+(Subscript[f, y]^′)(0,0)k)+(1/(2!))((Subscript[f, xx]^(′′))(0,0)(h^2)+2(Subscript[f, xy]^(′′))(0,0)h k+(Subscript[f, yy]^(′′))(0,0)(k^2))

=1+h+0+(1/2)(0+2h k+0)=1+h+h k

2.62

a)

f(x+h,y+k)=+f(x,y)+h (Subscript[f, x]^′)(x,y)+k (Subscript[f, y]^′)(x,y)+(1/2) ((h^2) (Subscript[f, xx]^(′′))(x,y)+2 h k (Subscript[f, xy]^(′′))(x,y)+(k^2) (Subscript[f, yy]^(′′))(x,y))+((((Sqrt[(h^2)+(k^2)])))^3)R(h,k)

där R(h,k) är begränsad funktion.

b)

Funktionen är

f(x,y)=(Sqrt[1+x+y])

Observera att vi har symmetri m.a.p. x,y. De partiella derivatorna blir

(Subscript[f, x]^′)(x,y)=(1/2)(((1+x+y))^((1/2)-1))×1=(1/(2 (Sqrt[1+x+y])))=(Subscript[f, y]^′)(x,y)

(Subscript[f, xx]^(′′))(x,y)=(-(1/2))(1/2)(((1+x+y))^(-(1/2)-1))×1=-(1/(4 (((1+x+y))^(3/2))))=(Subscript[f, xy]^(′′))(x,y)=(Subscript[f, yy]^(′′))(x,y)

I punkten (1,0) får vi:

f(1,0)=(Sqrt[1+1+0])=(Sqrt[2])

(Subscript[f, x]^′)(1,0)=(Subscript[f, y]^′)(1,0)=(1/(2 (Sqrt[1+1+0])))=(1/(2(Sqrt[2])))

(Subscript[f, xx]^(′′))(1,0)=(Subscript[f, xy]^(′′))(1,0)=(Subscript[f, yy]^(′′))(1,0)=-(1/(4 (((1+1+0))^(3/2))))=-(1/(8 (Sqrt[2])))

Taylorpolynomet av ordning 2 kan därmed skrivas:

(Subscript[P, 1])(h+1,k+0)=(1/(0!))f(1,0)+(1/(1!))((Subscript[f, x]^′)(1,0)h+(Subscript[f, y]^′)(1,0)k)+(1/(2!))((Subscript[f, xx]^(′′))(1,0)(h^2)+2(Subscript[f, xy]^(′′))(0,0)h k+(Subscript[f, yy]^(′′))(1,0)(k^2))

=(1/(0!))(Sqrt[2])+(1/(1!))((1/(2(Sqrt[2])))h+(1/(2(Sqrt[2])))k)+(1/(2!))((-(1/(8 (Sqrt[2]))))(h^2)+2(-(1/(8 (Sqrt[2]))))h k+(-(1/(8 (Sqrt[2]))))(k^2))

=(Sqrt[2])+((h+k)/(2 (Sqrt[2])))-((((h+k))^2)/(16 (Sqrt[2])))

2.71

a)

Funktionen är

f(x,y)=sin(x (y^2))

De partiella derivatorna blir

((∂f)/(∂x))=(y^2) cos(x (y^2))

((∂f)/(∂y))=2 x y cos(x (y^2))

differentialen blir

df=∇f·d𝕩=((∂f)/(∂x))dx+((∂f)/(∂y))dy=(y^2) cos(x (y^2))dx+2 x y cos(x (y^2))dy=y cos(x (y^2))(y dx+2x dy)

d)

Funktionen är

f(p,V,T)=((p V)/T)

De partiella derivatorna blir

((∂f)/(∂p))=(V/T)

((∂f)/(∂V))=(p/T)

((∂f)/(∂T))=-((p V)/(T^2))

differentialen blir

df=((∂f)/(∂p))dp+((∂f)/(∂V))dV+((∂f)/(∂T))dT=(V/T)dp+(p/T)dV-((p V)/(T^2))dT=(1/T)(V dp+p dV-((p V)/T)dT)

2.73

Funktionen är

f(x,y)=x y

De partiella derivatorna blir

((∂f)/(∂x))=y, ((∂f)/(∂y))=x

differentialen blir

df=∇f·d𝕩=((∂f)/(∂x))dx+((∂f)/(∂y))dy=y dx+x dy

Δf=y Δx+x Δy+Δx Δy

Δf-df≈Δx Δy

2.74

Funktionen är

f(x,y)=(1/(Sqrt[3+x+(Sqrt[1-y])]))=(((3+x+(((1-y))^(1/2))))^(-1/2))

=>f(0,0)=(1/(Sqrt[3+0+(Sqrt[1-0])]))=(1/2)

De partiella derivatorna blir

(Subscript[f, x]^′)(x,y)=(-(1/2))(((3+x+(((1-y))^(1/2))))^(-3/2))=-(1/(2 (((3+x+(Sqrt[1-y])))^(3/2))))

=>(Subscript[f, x]^′)(0,0)=-(1/(2 (((3+0+(Sqrt[1-0])))^(3/2))))=-(1/16)

(Subscript[f, y]^′)(x,y)=(-(1/2))(((3+x+(((1-y))^(1/2))))^(-3/2))(1/2)(((1-y))^(-1/2))(-1)=(1/(4 (((3+x+(Sqrt[1-y])))^(3/2)) (Sqrt[1-y])))

=>(Subscript[f, y]^′)(0,0)=(1/(4 (((3+0+(Sqrt[1-0])))^(3/2)) (Sqrt[1-0])))=(1/32)

För (x.y)=(0,0) blir differentialen

df=(Subscript[f, x]^′)(0,0)dx+(Subscript[f, y]^′)(0,0)dy=-(1/16)dx+(1/32)dy

För små x,y blir därmed

Δf=f(x,y)-f(0,0)≈-(1/16)x+(1/32)y⇔f(x,y)≈(1/2)-(1/16)x+(1/32)y

2.82

a)

Låt 𝕧 vara en normerad vektor. Riktningsderivatan (Subscript[f, 𝕧]^′)(𝕒) definieras av

(Subscript[f, 𝕧]^′)(𝕒)=(Subscript[[f'(𝕒+t 𝕧)], t=0])

f'(𝕣)=∇f(𝕣)·𝕣'(t)

Om 𝕣=𝕒+t 𝕧 är 𝕣'(t)=𝕧 och 𝕣(0)=𝕒

∴(Subscript[f, 𝕧]^′)(𝕒)=∇f(𝕒)·𝕧

b)

Funktionen är

f(x,y)=(x^2)(y^3)=>∇f(x,y)=(2x (y^3),3 (((x y))^2))

I punkten (2,1) blir därmed gradienten ∇f(2,1)=(4,12).

Den räta linjen 3x+4y=10 kan skrivas y=(2/5)-(3/4)x. En riktningsvektor blir därmed (1,-(3/4)). Normering ger:

𝕦=(((1,-(3/4)))/(Sqrt[1+((((3/4)))^2)]))=(1/5)(4,-3)

Riktningsderivatan i (2,1) blir därmed

(Subscript[f, 𝕦]^′)(2,1)=∇f(2,1)·𝕦=(1/5)(4,12)·(4,-3)=-4

Eftersom (Subscript[f, 𝕦]^′)(2,1) är negativ minskar f och vi väljer att gå i motsatt riktning 𝕧=-𝕦=(1/5)(-4,3). Riktningsderivatan blir då

(Subscript[f, 𝕧]^′)(2,1)=-(Subscript[f, 𝕦]^′)(2,1)=4