SF1626 - Övning 4

Göran Andersson goeran@kth.se, 110331

3.1

a)

𝕩(t)=(t,(t^2)+1), 0≤t≤2

b)

𝕩(t)=(1+cos(t),-2+sin(t)), 0≤t≤π

c)

𝕩(t)=(cos(t),sin(2t)),  π≤t≤2π

c)

𝕩(t)=(cos(t),sin(2t)),  0≤t≤2π

3.2

Se lösning i övningsboken.

3.3

a)

Partikelbanan ges av

𝕩(t)=(cos(t),2 sin(t),t)

Hastigheten blir

(OverDot[𝕩])(t)=(-sin(t),2 cos(t),1)

I punkten (-1,0,π), dvs. då t=π erhålls

(OverDot[𝕩])(π)=(-sin(π),2 cos(π),1)=(0,-2,1)

b)

Farten blir

(OverDot[x])(t)=(Abs[(OverDot[𝕩])(t)])=(Sqrt[(-sin(t),2 cos(t),1)·(-sin(t),2 cos(t),1)])

=(Sqrt[(sin^2)(t)+4 (cos^2)(t)+1])=(Sqrt[2+3 (cos^2)(t)])

Då t=π erhålls

(OverDot[x])(π)=(Sqrt[2+3 (cos^2)(π)])=(Sqrt[5])

c)

Accelerationen blir

(Overscript[𝕩, ¨])(t)=(d/(dt))(OverDot[𝕩])(t)=(d/(dt))(-sin(t),2 cos(t),1)=(-cos(t),-2 sin(t),0)

(Overscript[𝕩, ¨])(π)=(-cos(π),-2 sin(π),0)=(1,0,0)

Grafik

3.4

Vi har två ekvationer vars snitt ger en kurva. Här är ett exempel på parametrisering:

(Piecewise[{{x-y+z==3}, {(x^2)+(y^2)-(z^2)==1}}])⇔(Piecewise[{{x-(y-z)==3}, {(x^2)+(y-z)(y+z)==1}}])

⇔(Piecewise[{{y-z==t}, {x==t+3}, {(((t+3))^2)+t (t+2z)==1}}])(Overscript[⇔, t≠0])(Piecewise[{{x==t+3}, {y==-(4/t)-3}, {z===-t-(4/t)-3}}])

Parameterformen av kurvan blir därmed

𝕣(t)=(t+3,-(4/t)-3,-t-(4/t)-3), t≠0

I punkten (2,1,2) är t=-1. Tangenten i punkten (2,1,2) har 𝕣'(-1) som riktningsvektor.

Tangenten i punkten (2,1,2) har r'(2) som riktningsvektor.

𝕣'(t)=(1+0,-4(-1)(t^(-2))-0,-1-4(-1)(t^(-2))-0)=(1,(4/(t^2)),(4/(t^2))-1)

=>𝕣'(-1)=(1,4,3)

Parameterformen av tangenten i punkten (2,1,2) kan därmed skrivas:

𝕥(s)=𝕣(-1)+s 𝕣'(-1)=(2,1,2)+s (1,4,3)

Grafik

3.5

a)

Kurvan γ ges av

𝕩(t)=(x(t),y(t),z(t))=(cos(t),sin(t),cos(2t)), 0≤t≤2π

Detta ger:

(x^2)(t)-(y^2)(t)=(cos^2)(t)-(sin^2)(t)=cos(2t)=z(t)

Detta visar att γ ligger på ytan z=(x^2)-(y^2).

b)

Hastigheten blir

(OverDot[𝕩])(t)=(-sin(t),cos(t),-2sin(2t))

Farten blir

v(t)=(Norm[(OverDot[𝕩])(t)])=(Sqrt[(((-sin(t)))^2)+(cos^2)(t)+(((-2sin(2t)))^2)])=(Sqrt[1+4(sin^2)(2t)])

Farten är uppenbariligen störst (Sqrt[5]) då

(sin^2)(2t)=1⇔2t=(π/2)+n π⇔t=(π/4)+n (π/2)

0≤t≤2π=>t∈{(π/4),((3π)/4),((5π)/4),((7π)/4)}

Detta ger 𝕩(t):

𝕩((π/4))=(cos((π/4)),sin((π/4)),cos(2(π/4)))=((1/(Sqrt[2])),(1/(Sqrt[2])),0)

De olika t-värdena ger fyra punkter med teckenvariation:

(±(1/(Sqrt[2])),±(1/(Sqrt[2])),0)

Anm: Vid tidsderivata ((dx)/(dt)) används ofta beteckningen (OverDot[x])(t) istället för x'(t).

3.7

a)

Ytan ges av:

𝕩=(s cos(t),s sin(t),(s^2)), 0≤s≤2,0≤t≤2π

Detta ger:

(Subscript[𝕩, s]^′)=(cos(t),sin(t),2s)

(Subscript[𝕩, t]^′)=(-s sin(t),s cos(t),0)

En normalriktning är:

𝕟=(Subscript[𝕩, s])'×(Subscript[𝕩, t])'=(-2 (s^2) cos(t),-2 (s^2) sin(t),s (sin^2)(t)+s (cos^2)(t))=(-2 (s^2) cos(t),-2 (s^2) sin(t),s)

I punkten P=(0,1,1) är (s,t)=(1,(π/2)) eller (s,t)=(-1,((3π)/2)). Detta ger

𝕟=(-2 (1^2) cos((π/2)),-2 (1^2) sin((π/2)),1)=(0,-2,1)∨𝕟=(0,2,-1)

b)

3.8

Parameterformen av ytan införs och ritas.

𝕣(s,t)=(t,(t^2),s)

Punkterna (Subscript[𝕣, 1])=(1,1,1) och (Subscript[𝕣, 2])=(0,0,1) motsvarar parametervärdena ((Subscript[s, 1]),(Subscript[t, 1]))=(1,1) resp. ((Subscript[s, 2]),(Subscript[t, 2]))=(1,0)

De sökta normalvektorerna i (1,1,1) och (0,0,1) blir:

(Subscript[𝕣, s]^′)(s,t)=(0,0,1)=>(Subscript[𝕣, s]^′)((Subscript[s, 1]),(Subscript[t, 1]))=(Subscript[𝕣, s]^′)((Subscript[s, 2]),(Subscript[t, 2]))=(0,0,1)

(Subscript[𝕣, t]^′)(s,t)=(1,2t,0)=>(Subscript[𝕣, t]^′)((Subscript[s, 1]),(Subscript[t, 1]))=(Subscript[𝕣, t]^′)(1,1)=(1,2,0), (Subscript[𝕣, t]^′)((Subscript[s, 2]),(Subscript[t, 2]))=(Subscript[𝕣, t]^′)(1,0)=(1,0,0)

(Subscript[𝕟, 1])=(Subscript[𝕣, s]^′)((Subscript[s, 1]),(Subscript[t, 1]))×(Subscript[𝕣, t]^′)((Subscript[s, 1]),(Subscript[t, 1]))=(0,0,1)×(1,2,0)=(Det[({{(Subscript[𝕖, x]), (Subscript[𝕖, y]), (Subscript[𝕖, z])}, {0, 0, 1}, {1, 2, 0}})])=(-2,1,0)

(Subscript[𝕟, 2])=(Subscript[𝕣, s]^′)((Subscript[s, 2]),(Subscript[t, 2]))×(Subscript[𝕣, t]^′)((Subscript[s, 2]),(Subscript[t, 2]))=(0,0,1)×(1,0,0)=(Det[({{(Subscript[𝕖, x]), (Subscript[𝕖, y]), (Subscript[𝕖, z])}, {0, 0, 1}, {1, 0, 0}})])=(0,1,0)

En normalvektor i en godtycklig punkt är

𝕟=(Subscript[𝕣, s]^′)(s,t)×(Subscript[𝕣, t]^′)(s,t)=(0,0,1)×(1,2t,0)=(Det[({{(Subscript[𝕖, x]), (Subscript[𝕖, y]), (Subscript[𝕖, z])}, {0, 0, 1}, {1, 2t, 0}})])=(-2t,1,0)=(-2x,1,0)

Om vi tolkar ytan som en nivåyta är 𝕟 lika med gradienten till en funktion f(x,y,z). Detta leder till system av partiella differentialekvationer. En för varje koordinat.

(Piecewise[{{((∂f)/(∂x))=-2x}, {((∂f)/(∂y))=1}, {((∂f)/(∂z))=0}}])⇔(Piecewise[{{f=-(x^2)+C(y,z)}, {f=y+C(x,z)}, {f=C(x,y)}}])⇔f(x,y,z)=-(x^2)+y+c

Dvs. funktionen kan tolkas som nivå-ytorna y-(x^2)=c.

3.9

a)

((∂𝕪)/(∂𝕩))=(({{((∂(Subscript[y, 1]))/(∂(Subscript[x, 1]))), ((∂(Subscript[y, 1]))/(∂(Subscript[x, 2])))}, {((∂(Subscript[y, 2]))/(∂(Subscript[x, 1]))), ((∂(Subscript[y, 2]))/(∂(Subscript[x, 2])))}}))=(({{2(Subscript[x, 1]), 2}, {1, 1}}))

b)

((∂𝕪)/(∂𝕩))=(({{((∂(Subscript[y, 1]))/(∂(Subscript[x, 1]))), ((∂(Subscript[y, 1]))/(∂(Subscript[x, 2])))}, {((∂(Subscript[y, 2]))/(∂(Subscript[x, 1]))), ((∂(Subscript[y, 2]))/(∂(Subscript[x, 2])))}}))=(({{3, 2}, {5, 4}}))

c)

((∂𝕩)/(∂𝕣))=(({{((∂x)/(∂r)), ((∂x)/(∂θ))}, {((∂y)/(∂r)), ((∂y)/(∂θ))}}))=(({{2cos(θ), -2r sin(θ)}, {3 sin(θ), 3r cos(θ)}}))

d)

((∂𝕪)/(∂𝕩))=(({{((∂(Subscript[y, 1]))/(∂(Subscript[x, 1]))), ((∂(Subscript[y, 1]))/(∂(Subscript[x, 2])))}, {((∂(Subscript[y, 2]))/(∂(Subscript[x, 1]))), ((∂(Subscript[y, 2]))/(∂(Subscript[x, 2])))}}))=(({{2(Subscript[x, 1]), -2(Subscript[x, 2])}, {2(Subscript[x, 2]), 2(Subscript[x, 1])}}))=2(({{(Subscript[x, 1]), -(Subscript[x, 2])}, {(Subscript[x, 2]), (Subscript[x, 1])}}))

3.12

((∂𝕪)/(∂𝕥))=((∂𝕪)/(∂𝕩))·((∂𝕩)/(∂𝕥))=(({{2(Subscript[x, 1]), 2(Subscript[x, 2])}, {1, 0}}))·(({{1, 4}, {-2, 2}}))=(({{2 (Subscript[x, 1])-4 (Subscript[x, 2]), 8 (Subscript[x, 1])+4 (Subscript[x, 2])}, {1, 4}}))=(({{2 ((Subscript[t, 1])+4(Subscript[t, 2]))-4 (-2(Subscript[t, 1])+2(Subscript[t, 2])), 8 (Subscript[x, 1])+4 (Subscript[x, 2])}, {1, 4}}))

=(({{2 ((Subscript[t, 1])+4(Subscript[t, 2]))-4 (-2(Subscript[t, 1])+2(Subscript[t, 2])), 8 ((Subscript[t, 1])+4(Subscript[t, 2]))+4 (-2(Subscript[t, 1])+2(Subscript[t, 2]))}, {1, 4}}))=(({{10 (Subscript[t, 1]), 40 (Subscript[t, 2])}, {1, 4}}))

3.14

((∂(f,g))/(∂(x,y)))=(({{x-y, -x}, {y, x+y}}))=(({{((∂f)/(∂x)), ((∂f)/(∂y))}, {((∂g)/(∂x)), ((∂g)/(∂y))}}))

((∂f)/(∂y))=-x=>f=-x y+h(x)

=>((∂f)/(∂x))=x-y=>-y+h'(x)=x-y⇔h'(x)=x⇔h(x)=(1/2)(x^2)+(Subscript[C, 1])=>f(x,y)=(1/2)(x^2)-x y+(Subscript[C, 1])

((∂g)/(∂x))=y=>g=x y+i(y)

=>((∂g)/(∂y))=x+y=>x+i'(y)=x+y⇔i'(y)=y⇔i(y)=(1/2)(y^2)+(Subscript[C, 2])=>g(x,y)=x y+(1/2)(y^2)+(Subscript[C, 2])

3.16

Se lösning i övningsboken.

3.20

Se lösning i övningsboken.

3.21

a)

Funktionalmatrisen är

((∂𝕦)/(∂𝕩))=(({{((∂u)/(∂x)), ((∂u)/(∂y)), ((∂u)/(∂z))}, {((∂v)/(∂x)), ((∂v)/(∂y)), ((∂v)/(∂z))}, {((∂w)/(∂x)), ((∂w)/(∂y)), ((∂w)/(∂z))}}))=(({{1, 1, -1}, {1, -1, 1}, {2x, 2y-2z, 2z-2y}}))

Funktionaldeterminanten är

((d(𝕦))/(d(𝕩)))=(Det[({{((∂u)/(∂x)), ((∂u)/(∂y)), ((∂u)/(∂z))}, {((∂v)/(∂x)), ((∂v)/(∂y)), ((∂v)/(∂z))}, {((∂w)/(∂x)), ((∂w)/(∂y)), ((∂w)/(∂z))}})])=(Det[({{1, 1, -1}, {1, -1, 1}, {2x, 2y-2z, 2z-2y}})])=(Det[({{1, 1, 0}, {1, -1, 0}, {2x, 2y-2z, 0}})])=0

b)

Eftersom ((d(𝕦))/(d(𝕩)))=0 är koordinatbytet olämpligt (ej inverterbart).

3.22

a)

((∂𝕦)/(∂𝕩))=(({{((∂u)/(∂x)), ((∂u)/(∂y))}, {((∂v)/(∂x)), ((∂v)/(∂y))}}))=(({{1, 2}, {3, 4}}))=>((d(𝕦))/(d(𝕩)))=(Det[({{1, 2}, {3, 4}})])=-2≠0

Linjär avbildning med ((d(𝕦))/(d(𝕩)))≠0 medför bijektiv avbildning.

b)

((∂u)/(∂x))=1

c)

𝕦=((∂𝕦)/(∂𝕩))·𝕩⇔(({{u}, {v}}))=(({{1, 2}, {3, 4}}))·(({{x}, {y}}))

𝕩=((∂𝕩)/(∂𝕦))·𝕦⇔(({{x}, {y}}))=(Inverse[(({{1, 2}, {3, 4}}))])·(({{u}, {v}}))

⇔(({{x}, {y}}))=(1/((-2)))(({{4, -2}, {-3, 1}}))·(({{x}, {y}}))⇔𝕩=(({{-2, 1}, {3/2, -1/2}}))·𝕦

b)

((∂x)/(∂u))=-2