SF1626 - Övning 5

Göran Andersson goeran@kth.se, 110407

2.66

Vi skall bestämma lokala extrempunkter till följande funktion.

f(x,y)=3(x^2)+3x y+(y^2)+(y^3)

Gradienten blir:

∇f=(((∂f)/(∂x)),((∂f)/(∂y)))=(6x+3y,3x+2y+3(y^2))

Vi söker stationära punkter där ∇f=(0,0).

⇔(Piecewise[{{6x+3y=0}, {3x+2y+3(y^2)}}])⇔(Piecewise[{{y=-2x}, {-x+12(x^2)=0}}])⇔(Piecewise[{{x∈{0,(1/12)}}, {y=-2x}}])

Vi får två punktern: (Subscript[𝕩, 0])=(0,0) och (Subscript[𝕩, 1])=(1/12)(1,-2).

Den kvadratiska formen är

Q(h,k)=(Subscript[f, xx]^(′′))((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0]))(h^2)+2(Subscript[f, xy]^(′′))((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0]))h k+(Subscript[f, yy]^(′′))((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0]))(k^2)

De partiella andraderivatorna blir

((((∂^2)f)/(∂(x^2))),(((∂^2)f)/(∂y∂x)),(((∂^2)f)/(∂(y^2))))=(6,3 ,2+6y)

I punkten (Subscript[𝕩, 0]) blir den kvadratiska formen

(Subscript[Q, 0])(h,k)=6(h^2)+2×3h k+2(k^2)=2(3(h^2)+3h k+(k^2))=((3 (h^2))/2)+2(((((3 h)/2)+k))^2)

I punkten (Subscript[𝕩, 1]) blir den kvadratiska formen

(Subscript[Q, 1])(h,k)=6(h^2)+2×3h k+(k^2)=6(h^2)+6h k+(k^2)=(((3 h+k))^2)-3 (h^2)

Vi kan se att (Subscript[Q, 0]) är positivt definit. Därmed är det klart att (Subscript[𝕩, 0])=(0,0) är ett lokalt maximum. Vidare är (Subscript[Q, 1]) indefinit.  Därmed är det klart att (Subscript[𝕩, 1])=(1/12)(1,-2) är en sadelpunkt. Vi har därmed (Subscript[𝕩, 0])=(0,0) som enda extrempunkt, ett lokalt minimum.

2.67

Vi skall bestämma lokala extrempunkter till följande funktion.

f(x,y)=(x^3)(y^2)+27x y+27y

Gradienten blir:

∇f=(((∂f)/(∂x)),((∂f)/(∂y)))=(3(x^2)(y^2)+27 y,2(x^3)y+27x+27)

Vi söker stationära punkter där ∇f=(0,0).

⇔(Piecewise[{{3(x^2)(y^2)+27 y=0}, {(x^3)2y+27x+27=0}}])⇔(Piecewise[{{y ((x^2)y+9 )=0}, {2x (x^2)y+27x+27=0}}])

⇔(Piecewise[{{(Piecewise[{{y=0}, {27x+27=0}}])⇔(Piecewise[{{x=-1}, {y=0}}])}, {(Piecewise[{{(x^2)y=-9}, {2x (-9)+27x+27=0}}])⇔(Piecewise[{{x=-3}, {y=-1}}])}}])

Den kvadratiska formen är

Q(h,k)=(Subscript[f, xx]^(′′))((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0]))(h^2)+2(Subscript[f, xy]^(′′))((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0]))h k+(Subscript[f, yy]^(′′))((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0]))(k^2)

De partiella andraderivatorna blir

((((∂^2)f)/(∂(x^2))),(((∂^2)f)/(∂y∂x)),(((∂^2)f)/(∂(y^2))))=(6x (y^2),6(x^2)y+27 ,2(x^3))

I punkten (-1,0) blir därmed den kvadratiska formen

(Subscript[Q, 1])(h,k)=6(-1) (0^2)(h^2)+2(6(((-1))^2)0+27)h k+2(((-1))^3)(k^2)=54 h k-2(k^2)=-2 ((k^2)-27 h k)

=-2 ((k^2)-2 k (27/2)h+((((27/2)h))^2)-((((27/2)h))^2))=-2 (((k-(27/2)h))^2)+2((((27/2)h))^2)=((27^2)/2)(h^2)-2 (((k-(27/2)h))^2)

Vi kan se att (Subscript[Q, 1]) är indefinit. I punkten (-3,-1) blir den kvadratiska formen

(Subscript[Q, 2])(h,k)=6(-3) (((-1))^2)(h^2)+2(6(((-3))^2)(-1)+27)h k+2(((-3))^3)(k^2)=-18 (h^2)-54 h k-54 (k^2)

=-18 ( (h^2)+3 h k+3 (k^2))=-18 ( (h^2)+2 h (3/2)k+((((3/2)k))^2)-((((3/2)k))^2)+3 (k^2))=-18 ( (((h+(3/2)k))^2)+((3 (k^2))/4))

Vi kan se att (Subscript[Q, 2]) är negativt definit. Därmed är det klart att (-1,0) är en sadelpunkt och (-3,-1) ett lokalt maximum.

2.68

b)

Avgöra om (0,0) är lokal extrempunkt till

f(x,y)=4(x^2)+12x y+9(y^2)+(x^4)

Gradienten blir:

∇f=(((∂f)/(∂x)),((∂f)/(∂y)))=(8x+12y+4(x^3),12x+18y)

Vi kan därmed se att ∇f(0,0)=(0,0) och (0,0) är en stationär punkt.

De partiella andraderivatorna blir

((((∂^2)f)/(∂(x^2))),(((∂^2)f)/(∂y∂x)),(((∂^2)f)/(∂(y^2))))=(8+12(x^2),12 ,18)

(Overscript[=>, (x,y)=(0,0)])((Subscript[f, x,x]^(′′))(0,0),(Subscript[f, x,y]^(′′))(0,0),(Subscript[f, y,y]^(′′))(0,0))=(8,12 ,18)

Den kvadratiska formen blir

Q(h,k)=(Subscript[f, xx]^(′′))(0,0)(h^2)+2(Subscript[f, xy]^(′′))(0,0)h k+(Subscript[f, yy]^(′′))(0,0)(k^2)=8(h^2)+2×12h k+18(k^2)=2 (((2 h+3 k))^2)

Vi kan se att Q(h,k) är positivt definit. Därmed är det klart att (0,0) är ett lokalt maximum.

d)

Vi skall bestämma lokala extrempunkter till följande funktion.

f(x,y,z)=1+(x^2)+2 (y^2)+4 (z^2)-2 x y+6 y z-2 x z

Gradienten blir:

∇f=(((∂f)/(∂x)),((∂f)/(∂y)),((∂f)/(∂z)))=(2 x-2 y-2 z,-2 x+4 y+6 z,-2 x+6 y+8 z)

Vi kan därmed se att ∇f(0,0,0)=(0,0,0) och (0,0,0) är en stationär punkt.

De partiella andraderivatorna blir

ℋ(f)=(({{(((∂^2)f)/((∂^2)(x^2))), (((∂^2)f)/(∂x∂y)), (((∂^2)f)/(∂x∂z))}, {(((∂^2)f)/(∂y∂x)), (((∂^2)f)/((∂^2)(y^2))), (((∂^2)f)/(∂y∂z))}, {(((∂^2)f)/(∂z∂x)), (((∂^2)f)/(∂z∂y)), (((∂^2)f)/((∂^2)(z^2)))}}))=(({{2, -2, -2}, {-2, 4, 6}, {-2, 6, 8}}))

Den kvadratiska formen blir

Q(h,k,l)=(Subscript[f, x,x]^(′′))(0,0,0)(h^2)+(Subscript[f, y,y]^(′′))(0,0,0)(k^2)+(Subscript[f, z,z]^(′′))(0,0,0)(l^2)+2 (Subscript[f, x,y]^(′′))(0,0,0)h k+2 (Subscript[f, x,z]^(′′))(0,0,0)h l+2(Subscript[f, y,z]^(′′))(0,0,0) k l

=2(h^2)+4(k^2)+8(l^2)-4h k-4h l+12 k l=2((h^2)+2(k^2)+4(l^2)-2h k-2h l+6 k l)

=2((((h-k-l))^2)+(((k+2 l))^2)-(l^2))

Vi kan se att Q(h,k,l) är indefinit. Därmed är det klart att (0,0,0) inte är lokalt extremvärde.

4.1

({{a) D={(x,y):(Abs[x])≤1∧(Abs[x])<1} , ej kompakt eftersom randen inte tillhör mängden}})

b) D=({{{(x,y):(x^2)+(y^2)≤1}, kompakt}})

c) D=({{{(x,y):(x^2)+(y^2)≥1}, ej begränsad}})

d) D=({{{(x,y):x y≥1}, ej begränsad}})

e) D=({{{(x,y):x ≥0∧ y≥0∧x+y≤1}, kompakt}})

f(x,y) antar säkert max (min) på de kompakta mängderna b) och e).

4.3

Området och funktionen är

𝒦={(x,y):-1≤x≤1∧-1≤y≤1}, f(x,y)=x y+(x^2)(y^2)

Eftersom området är kompakt existerar max/min. Vi söker först stationär punkt där ∇f=𝟘 i det inre området

ℐ={(x,y):-1<x<1∧-1<y<1}

∇f(x,y)=(y+2x (y^2) ,x+2(x^2) y)=(y (1+2x y) ,x (1+2x y))

∴∇f(x,y)=(0,0)⇔(Piecewise[{{y (1+2x y)=0}, {x (1+2x y)=0}}])⇔(x,y)=(0,0)∨x y=-(1/2)

Vi har därmed att  ∇f=𝟘 i origo och på hyperbeln x y =-1/2.

f(0,0)=0, f(x,y)(Overscript[=, x y =-1/2])-(1/2)+(1/4)=-(1/4)

Nästa område att undersöka är randen (exklusive hörnen).

∂=={(x,y):-1<x<1∧y=-1}⋃{(x,y):x=1∧-1<y<1}⋃{(x,y):-1<x<1∧y=1}⋃{(x,y):x=-1∧-1<y<1}

På (∂_1) gäller

(x,y)∈(∂_1)=>f(x,y)=f(x,-1)=g(x)=-x+(x^2),g'(x)=0⇔-1+2x=0=>x=(1/2)

Punkten (1/2,-1) ligger på den tidigare undersökata hyperbeln. (∂_2),(∂_3),(∂_4) ger alla punkter på hyperbeln. Återstår att undersöka hörnen.

f(-1,-1)=(-1)(-1)+(((-1))^2)(((-1))^2)=2=f(1,1)

f(1,-1)=f(-1,1)=0

Vi kan nu se bland de inramade värdena att

(max_((x.y)∈𝒦))(f(x,y))=2, (min_((x.y)∈𝒦))(f(x,y))=-(1/4)

Grafik

4.8

Området och funktionen är

𝒦={(x,y):0≤x≤1∧0≤y≤x}, f(x,y)=(x^2)-3x y+(y^2)-x+4y

Eftersom området är kompakt existerar max/min. Vi söker först stationär punkt där ∇f=𝟘 i det inre området

ℐ={(x,y):0<x<1∧0<y<x}

∇f(x,y)=(2 x-3 y-1,-3 x+2 y+4)

∴∇f(x,y)=(0,0)⇔(Piecewise[{{2 x-3 y-1=0}, {-3 x+2 y+4=0}}])⇔(x,y)=(2,1)∉𝒦

Punkten ligger utanför området. Vi undersöker nu det inre av randen.

∂=={(x,y):0<x<1∧y=0}⋃{(x,y):x=1∧0<y<1}⋃{(x,y):0<x<1∧y=x}

(x,y)∈(∂_1)=>f(x,y)=f(x,0)=(Subscript[g, 1])(x)=(x^2)-x,(Subscript[g, 1]^′)(x)=0⇔2x-1=0=>x=(1/2)

(x,y)∈(∂_2)=>f(x,y)=f(1,y)=(Subscript[g, 2])(y)=(y^2)+y,(Subscript[g, 2]^′)(y)=0⇔2y+1=0=>y=-(1/2)

(x,y)∈(∂_3)=>f(x,y)=f(x,x)=(Subscript[g, 3])(x)=3 x-(x^2),(Subscript[g, 3]^′)(x)=0⇔3-2x=0=>x=(3/2)∉𝒦

Vi får två punkter i 𝒦

f((1/2),0)=-(1/4), f(1,(1/2))=(3/4)

Återstår att undersöka de tre hörnen.

f(0,0)=0, f(1,0)=0, f(1,1)=2

Vi kan nu se bland de inramade värdena att

(max_((x.y)∈𝒦))(f(x,y))=2, (min_((x.y)∈𝒦))(f(x,y))=-(1/4)

Grafik

4.11

Området och funktionen är

𝒦={(x,y):(x^2)+(y^2)≤1}, f(x,y)=(x^2)+x ((y^2)-1)

Eftersom området är kompakt existerar max/min. Vi söker först stationär punkt där ∇f=𝟘 i det inre området

ℐ={(x,y):(x^2)+(y^2)<1}

∇f(x,y)=(2 x+(y^2)-1,2x y)

∴∇f(x,y)=(0,0)⇔(Piecewise[{{2 x+(y^2)-1=0}, {2x y=0}}])(Overscript[⇔, (x,y)∈ℐ])(x,y)=((1/2),0)

f((1/2),0)=-(1/4)

Vi undersöker nu “det inre” av randen.

∂=={(x,y):(x^2)+(y^2)=1}=>(y^2)-1=-(x^2)

(x,y)∈∂=>f(x,y)=(x^2)+x (-(x^2))=g(x)=(x^2)-(x^3), -1<x<1

g'(x)=0⇔2x-3(x^2)=0⇔x∈{0,(2/3)}

Eftersom (x^2)+(y^2)=1 får vi följande randpunkter:

{(0,±1),((2/3),±((Sqrt[5])/3))

f(0,±1)=0, f((2/3),±((Sqrt[5])/3))=(4/27)

Återstår gör “hörnpunkterna” x=±1.

f(-1,0)=2, f(1,0)=0

Vi kan nu se bland de inramade värdena att

(max_((x.y)∈𝒦))(f(x,y))=2, (min_((x.y)∈𝒦))(f(x,y))=-(1/4)

Grafik

4.12

Området och funktionen är

𝒦={(x,y):(x^2)+(y^2)≤4}, f(x,y)=((x^2)+3(y^2)) (e^(-(x^2)-(y^2)))

Eftersom området är kompakt existerar max/min. Vi söker först stationär punkt där ∇f=𝟘 i det inre området

ℐ={(x,y):0<x+y<2∧x>0∧y>0}

∇f(x,y)=(2 x (e^(-(x^2)-(y^2)))+((x^2)+3 (y^2)) (e^(-(x^2)-(y^2)))(-2 x) ,6 y (e^(-(x^2)-(y^2)))+((x^2)+3 (y^2)) (e^(-(x^2)-(y^2)))(-2 y))

=2(e^(-(x^2)-(y^2)))( x -x ((x^2)+3 (y^2))  ,3 y -y ((x^2)+3 (y^2)) )

∴∇f(x,y)=(0,0)⇔(Piecewise[{{x -x ((x^2)+3 (y^2))=0}, {3 y -y ((x^2)+3 (y^2))=0}}])⇔(Piecewise[{{x (1-((x^2)+3 (y^2)))=0}, {y (3-((x^2)+3 (y^2)))=0}}])

x=0=>y=0∨3-((0^2)+3 (y^2))=0=>(x,y)∈{(0,0),(0,±1)}

y=0=>x=0∨1-((x^2)+3×(0^2))=0=>(x,y)∈{(0,0),(±1,0)}

Vi får därmed följande inre stationära punkter

(x,y)∈{(0,0),(±1,0),(0,±1)}

Nästa område att undersöka är randen.

∂=={(x,y):(x^2)+(y^2)=4}=>f(x,y)=g(y)=(4+2(y^2)) (e^(-4))

g'(y)=4y (e^(-4))

Vi får därmed följande stationära punkter på randen

g'(y)=0⇔y=0=>(x,y)=(±2,0)

Sammantaget har vi alltså följande möjligheter för max/min:

{(0,0),(±1,0),(0,±1),(±2,0)}

Funktionsvärdena i dessa punkter blir:

{0,(e^(-1)),3(e^(-1)),4(e^(-4))}

Därmed kan vi konstatera att det minsta och det största värdet är

(max_((x,y)∈𝒦)) f(x,y)==0, (min_((x,y)∈𝒦)) f(x,y)==3(e^(-1))

Värdena antas i (0,0) resp. (0,±1).

Grafik

4.15

Området och funktionen är

𝒦={(x,y,z):x,y,z≥0∧(x^2)+(y^2)+(z^2)≤1}, f(x,y,z)=x y z+x y

Eftersom området är kompakt existerar max/min. Vi söker först stationär punkt där ∇f=𝟘 i det inre området

ℐ={(x,y,z):x,y,z<0∧(x^2)+(y^2)+(z^2)<1}

∇f(x,y,z)=(y z+y,x z+x,x y)

∴∇f(x,y,z)=(0,0,0)⇔(Piecewise[{{y z+y=0}, {x z+x=0}, {x y=0}}])(Overscript[⇔, (x,y)∈ℐ])(x,y,z)∈∅

Vi har inga inre stationära punkter och forsätter nu med begränsningsytorna (randområderna):

𝒟=={(x,y,z):x,y,z>0∧(x^2)+(y^2)+(z^2)=1}⋃{(x,y,z):z=0∧(x^2)+(y^2)<1}⋃{(x,y,z):x=0∧(y^2)+(z^2)<1}⋃{(x,y,z):y=0∧(x^2)+(z^2)<1}

(x,y,z)∈(Subscript[𝒟, 1])=>f(x,y,z)=f(x,y,(Sqrt[1-(x^2)-(y^2)]))=(Subscript[g, 1])(x,y)=x y ((Sqrt[1-(x^2)-(y^2)])+1)

De stationära punkterna söks:

∇(Subscript[g, 1])(x,y)=(y+y (Sqrt[1-(x^2)-(y^2)])-(((x^2) y)/(Sqrt[1-(x^2)-(y^2)])),x+x (Sqrt[1-(x^2)-(y^2)])-((x (y^2))/(Sqrt[1-(x^2)-(y^2)])))=(0,0)

Ur den första ekvationen erhålls (Sqrt[1-(x^2)-(y^2)])=2 (x^2)+(y^2)-1. Detta insätts i den andra ekvationen

x(Sqrt[1-(x^2)-(y^2)])-(x^3)-2 x (y^2)+x=0⇔x (2 (x^2)+(y^2)-1)-(x^3)-2 x (y^2)+x=0⇔x (x-y) (x+y)=0

x,y>0=>x=y

Vi kan nu söka stationär punkt till (Subscript[g, 2])(x)=(Subscript[g, 1])(x,x)=(x^2)((Sqrt[1-2(x^2)])-1)

(Subscript[g, 2]^′)(x)=0⇔2 x ((Sqrt[1-2 (x^2)])+1)-((2 (x^3))/(Sqrt[1-2 (x^2)]))=0(Overscript[⇔, x>0])x=(2/3)=>z=(Sqrt[1-2 ((((2/3)))^2)])=(1/3)

Vi får därmed

f((2/3),(2/3),(1/3))=(16/27)

Vi forsätter nu med begränsningsytorna (Subscript[𝒟, 2]):

(x,y,z)∈(Subscript[𝒟, 2])=>f(x,y,z)=f(x,y,0)=(Subscript[g, 3])(x,y)=x y

∇(Subscript[g, 3])(x,y)=(y,x)=(0,0) ger ingen inre punkt

Vi forsätter nu med begränsningsytorna (Subscript[𝒟, 3]) och (Subscript[𝒟, 4]):

(x,y,z)∈(Subscript[𝒟, 3])=>f(x,y,z)=f(0,y,z)=0

(x,y,z)∈(Subscript[𝒟, 4])=>f(x,y,z)=f(x,0,z)=0

Nästa steg är att undersöka begränsningskurvorna (6 st)

∂=={(x,y,z):y,z=0∧0<x<1}⋃{(x,y,z):x,z=0∧0<y<1}⋃{(x,y,z):x,y=0∧0<z<1}⋃{(x,y,z):x,y>0∧(x^2)+(y^2)=1,z=0}⋃{(x,y,z):x,z>0∧(x^2)+(z^2)=1,y=0}⋃{(x,y,z):y,z>0∧(y^2)+(z^2)=1,x=0}

För första kurvan erhålls

(x,y,z)∈(∂_1)=>f(x,y,z)=f(x,0,0)=0

För (∂_2) och (∂_3) erhålls samma resultat. För (∂_4), cirkelbågen i xy-planet, erhålls

(x,y,z)∈(∂_4)=>f(x,y,z)=f(x,(Sqrt[1-(x^2)]),0)=(Subscript[g, 4])(x)=x (Sqrt[1-(x^2)])

(Subscript[g, 4]^′)(x)=0⇔(Sqrt[1-(x^2)])-((x^2)/(Sqrt[1-(x^2)]))=0(Overscript[⇔, x>0])x=(1/(Sqrt[2]))=>(Subscript[g, 4])((1/(Sqrt[2])))=(1/2)

För de övriga cirkelbågarna ehålls f(x,y,z)=0

Återstår gör hörnpunkterna:

f(0,0,0),f(1,0,0)=f(0,1,0)=f(0,0,1)=0

Vi kan nu se bland de inramade värdena att

(max_((x.y,z)∈𝒦))(f(x,y,z))=(16/27), (min_((x.y,z)∈𝒦))(f(x,y,z))=0

4.17

Området är

𝒦={(x,y):0≤x≤2∧0≤y≤b}

där b>1. Funktionen är

f(x,y)=x (y^2)(e^(-x y))

Eftersom området är kompakt existerar max/min. Vi söker först stationär punkt där ∇f=𝟘 i det inre området

ℐ={(x,y):0<x<2∧0<y<b}

∇f(x,y)=((y^2) (e^(-x y))-x (y^3) (e^(-x y)),2 x y (e^(-x y))-(x^2) (y^2) (e^(-x y)))=((y^2)(1-x y)(e^(-x y)),x y (2-x y)(e^(-x y)))

∴∇f(x,y)=(0,0)⇔(x,y)∈∅

Dvs. ingen inre stationär punkt. Vi undersöker nu “det inre” av randen.

∂=={(x,y):0<x<2∧y=0}⋃{(x,y):x=2∧0<y<b}⋃{(x,y):0<x<2∧y=b}⋃{(x,y):x=0∧0<y<b}

(x,y)∈(∂_1)=>f(x,y)=f(x,0)=0,(x,y)∈(∂_4)=>f(x,y)=f(0,y)=0

(x,y)∈(∂_2)=>f(x,y)=f(2,y)=(Subscript[g, 2])(y)=2 (y^2)(e^(-2 y))

(Subscript[g, 2]^′)(y)=0⇔4y (e^(-2y))+2 (y^2)(e^(-2 y)) (-2)=0⇔y=1=>(Subscript[g, 2])(1)=2(e^(-2))

(x,y)∈(∂_3)=>f(x,y)=f(x,b)=(Subscript[g, 3])(x)=(b^2)x (e^(-b x))

(Subscript[g, 3]^′)(x)=0⇔(b^2) (e^(-b x))+(b^2)x (e^(-b x)) (-b)=0⇔x=(1/b)=>(Subscript[g, 3])((1/b))=b (e^(-1))

Nu återstår hörnpunkterna.

{(0,±1),((2/3),±((Sqrt[5])/3))

f(0,0)=0, f(2,0)=0,f(2,b)=2 (b^(-2))(e^(-2 b)),f(0,b)=0

Vi kan nu se bland de inramade värdena att

(max_((x.y)∈𝒦))(f(x,y))=b (e^(-1)), (min_((x.y)∈𝒦))(f(x,y))=0

Om vi låter b->∞ kommer b (e^(-1))->∞. Dvs. funktionen saknar max, men har ett min i 0

Grafik

4.19

Området och funktionen är

𝒟={(x,y):x≥0∧y≥0}

f(x,y)=((x^2)+y) (e^(-x-y))

Vi söker först stationär punkt där ∇f=𝟘 i det inre området

ℐ={(x,y):x>0∧y>0}

∇f(x,y)=((x^2)-2 x+y)(e^(-x-y)),(1-(x^2)-y)(e^(-x-y)))

∴∇f(x,y)=(0,0)⇔(x,y)=((1/2),(3/4))=>f((1/2),(3/4))=(e^(-5/4))

Vi undersöker nu “det inre” av randen.

∂=={(x,y):x>0∧y=0}⋃{(x,y):x=0∧y>0}

(x,y)∈(∂_1)=>f(x,y)=f(x,0)=(Subscript[g, 1])(x)=(x^2)(e^(-x))

(Subscript[g, 1]^′)(x)=0⇔x (2-x)(e^(-x))=0⇔x=2=>(Subscript[g, 1])(2)=4(e^(-2))

(x,y)∈(∂_2)=>f(x,y)=f(0,y)=(Subscript[g, 2])(y)=y (e^(-y))

(Subscript[g, 2]^′)(y)=0⇔(1-y)(e^(-y))=0⇔y=1=>(Subscript[g, 2])(1)=(e^(-1))

Nu återstår hörnpunkten.

f(0,0)=0

Vidare gäller f(x,y)≥0, (x,y)∈𝒟 och

(lim_(x->∞)) f(x,y)=(lim_(y->∞)) f(x,y)=0, (x,y)∈𝒟

Vi kan nu se bland de inramade värdena att

(max_((x.y)∈𝒟))(f(x,y))=4(e^(-2)), (min_((x.y)∈𝒟))(f(x,y))=0

Grafik

4.22

Området är (ℝ^2) och funktionen är

f(x,y)=((x^2)+x y+(y^2)) (e^(-x-2y))=((((x+(y/2)))^2)+((3 (y^2))/4))(e^(-x-2y))

Här kan vi se att funktionen uppfyller f(x,y)≥0 och f(0,0)=0. Vi kan också enkelt konstatera att

(lim_(x->-∞)) f(x,0)=∞

Dvs. största värde saknas och minsta värde är 0.

4.25

Vi ska bestämma extremvärden till funktionen

d(x,y)=(Sqrt[(x^2)+(y^2)])

under bivillkoret g(x,y)=0, där

g(x,y)=13(x^2)+13(y^2)+10x y-72

I bilden ovan är den röda kurvan bivillkoret. Detta utgör en kompakt mängd, dvs. min och max existerar. Vidare är grå nivåkurvor till d(x,y) utritade. Enligt resonemanget i läroboken (4.3, sats 1) är gradienterna till d och g parallella i extrempunkterna.

∇d=λ ∇g

I detta fall är det bekvämt att betrakta funktionen

f(x,y)=((d(x,y))^2)=(x^2)+(y^2)

istället för d(x,y), eftersom det funktionerna har samma extrempunkter.

(Piecewise[{{∇f=λ ∇g}, {g(x,y)=0}}])⇔(Piecewise[{{(2x,2y)=λ (26x+10y,26y+10x)}, {g(x,y)=0}}])

⇔(Piecewise[{{x=λ (13x+10y)}, {y=λ (13y+10x)}, {g(x,y)=0}}])⇔(Piecewise[{{x-y=3λ (x-y)}, {x+y=23 λ (x+y)}, {13(x^2)+13(y^2)+10x y-72=0}}])

De två första ekvationerna medför två möjligheter (om λ≠0): x-y=0 eller x+y=0.

x-y=0(Overscript[=>, ekv.3])36(x^2)-72=0⇔(x^2)=2⇔(x,y)=±(Sqrt[2])(1,1)

x+y=0(Overscript[=>, ekv.3])16(x^2)-72=0⇔(x^2)=(9/2)⇔(x,y)=±(3/(Sqrt[2]))(1,-1)

I dessa punkter är avståndet d(x,y):

d(±(Sqrt[2])(1,1))=2  (min)

d(±(3/(Sqrt[2]))(1,-1))=3  (max)

Med 𝕒=(3/(Sqrt[2]))(({{1}, {-1}})) och 𝕓=(Sqrt[2])(({{1}, {1}})) kan ellipsen parametriseras med

(({{x}, {y}}))=(({{𝕒, 𝕓}}))·(({{cos(t)}, {sin(t)}}))

Alternativ

Att ∇d och ∇g är parallella innebär att de är linjärt beroende. Mer allmänt om vektorerna (Subscript[𝕣, 1]),(Subscript[𝕣, 2]),… är linjärt beroende gäller att

(({{(Subscript[a, 1]), (Subscript[a, 2]), …}}))·(({{(Subscript[𝕣, 1])}, {(Subscript[𝕣, 2])}, {⋮}}))=(({{0, 0, …}}))⇔𝕒·ℝ=𝟘

har icke-triviala lösningar 𝕒. Detta innebär att (Det[ℝ])=0. Alternativt betraktar man kolumnvektorer istället:

(({{(Subscript[𝕔, 1]), (Subscript[𝕔, 2]), …}}))·(({{(Subscript[x, 1])}, {(Subscript[x, 2])}, {⋮}}))=(({{0, 0, …}}))⇔ℂ·𝕩=𝟘=>(Det[ℂ])=0

Här får vi:

(Piecewise[{{(Det[({{∇f}, {∇g}})])=0}, {g(x,y)=0}}])⇔(Piecewise[{{(Det[({{2x, 2y}, {26x+10y, 26y+10x}})])=0}, {13(x^2)+13(y^2)+10x y-72=0}}])

⇔(Piecewise[{{(x^2)-(y^2)=0}, {13(x^2)+13(y^2)+10x y-72=0}}])⇔(Piecewise[{{(x,y)=±(Sqrt[2])(1,1)}, {(x,y)=±(3/(Sqrt[2]))(1,-1)}}])

Grafik

4.26

Vi ska bestämma extremvärden till funktionen

f(x,y)=(x^2)y

under bivillkoret g(x,y)=0, där

g(x,y)=x+y-1

Under bivillkoret blir

f(x,y)(Overscript[=, g=0])f(x,1-x)=h(x)=(x^2)(1-x)

Vi får här

(lim_(x->-∞)) h(x)=∞, (lim_(x->∞)) h(x)=-∞

Dvs. största och minsta värde saknas.

4.27

Vi ska undersöka värdemängden till funktionen

f(x,y)=x+y

under bivillkoret g(x,y)=0, x≥0, där

g(x,y)=(x^2)+x y+(y^2)-3

(x^2)+x y+(y^2)=3⇔(((x+(y/2)))^2)+((3 (y^2))/4)=3

Detta utgör en kompakt mängd, dvs. min och max existerar. Gradienterna till f och g parallella i extrempunkterna.

(Piecewise[{{(Det[({{∇f}, {∇g}})])=0}, {g(x,y)=0}}])⇔(Piecewise[{{(Det[({{1, 1}, {2x+y, x+2y}})])=0}, {(x^2)+x y+(y^2)-3=0}}])⇔(Piecewise[{{y=x}, {(x^2)=1}}])

Vi får en punkt (1,1) eftersom x≥0.

f(1,1)=2

Nu återstår att undersäka ändpunkterna (0,y), under bivillkoret.

g(0,y)=0⇔y=±(Sqrt[3])

f(0,(Sqrt[3]))=(Sqrt[3]),f(0,-(Sqrt[3]))=-(Sqrt[3])

Vi får därmed (x≥0):

(max_(g(x,y)=0))(f(x,y))=2, (min_(g(x,y)=0))(f(x,y))=-(Sqrt[3])

Detta ger (eftersom f är kontinuerlig):

(Subscript[V, f])={z∶-(Sqrt[3])≤z≤2}

Grafik

4.29

Vi ska bestämma maximum till funktionen

V(x,y,z)=8 x y z, x,y,z>0

under bivillkoret g(x,y,z)=0, där

g(x,y,z)=((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))+((z^2)/(c^2))-1

Detta utgör en kompakt mängd, dvs. min och max existerar. Vi söker därmed punkt så att gradienterna till V och g parallella.

(Piecewise[{{∇V=λ ∇g}, {g(x,y,z)=0}}])⇔(Piecewise[{{(8y z,8x z,8x y)=λ (((2x)/(a^2)),((2y)/(b^2)),((2z)/(c^2)))}, {g(x,y,z)=0}}])

⇔(Piecewise[{{(4 x y z,4 x y z,4 x y z)=λ (((x^2)/(a^2)),((y^2)/(b^2)),((z^2)/(c^2)))}, {((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))+((z^2)/(c^2))-1=0}}])

Summeras de tre första ekvationerna och kombineras med den fjärde erhålls

3×4 x y z=λ (((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))+((z^2)/(c^2)))⇔4 x y z=(1/3)λ

∴(1/3)=((x^2)/(a^2))=((y^2)/(b^2))=((z^2)/(c^2))=>(x,y,z)=(1/(Sqrt[3]))(a,b,c)

Under förutsättning att x,y,z>0 är det klart att infimum av V är lika med 0. Vi kan därmed sluta oss till att det funna extremvärdet är ett maximum med volymen.

=>(Subscript[V, max])=V((a/(Sqrt[3])),(b/(Sqrt[3])),(c/(Sqrt[3])))=(8/(3(Sqrt[3])))a b c

4.30

Arean kan tecknas

A=2(Subscript[A, △])+2(Subscript[A, ▯])=2(1/2)x z+2y (Sqrt[((((x/2)))^2)+(z^2)])=x z+y (Sqrt[(x^2)+4(z^2)])

under bivillkoret V=(1/2)x y z.

∴A=x z+((2V)/(x z))(Sqrt[(x^2)+4(z^2)])=x z+2V(Sqrt[(z^(-2))+4(x^(-2))])

Vi söker stationära punkter

∇A=(z-8V (x^(-3)) ((((z^(-2))+4(x^(-2))))^(-1/2)),x-2V (z^(-3)) ((((z^(-2))+4(x^(-2))))^(-1/2)))

∇A=(0,0)⇔(Piecewise[{{z-8V (x^(-3)) ((((z^(-2))+4(x^(-2))))^(-1/2))=0}, {x-2V (z^(-3)) ((((z^(-2))+4(x^(-2))))^(-1/2)) =0}}])⇔(Piecewise[{{((z x)/V) ((((z^(-2))+4(x^(-2))))^(1/2))-8 (x^(-2))=0}, {((x z)/V)  ((((z^(-2))+4(x^(-2))))^(1/2))-2(z^(-2))=0}}])⇔(Piecewise[{{x=2z}, {((2 (z^2))/V)  ((((z^(-2))+(z^(-2))))^(1/2))-2(z^(-2))=0}}])

Detta ger (Subscript[z, opt])=(((V/(Sqrt[2])))^(1/3)). Detta ger minimum eftersom

A=x z+2V(Sqrt[(z^(-2))+4(x^(-2))])

->∞ då x,z->∞ och då x,z->0.

Alternativ

Sätt

g=(Subscript[A, △])y-V=(1/2)x y z-V =0

Vi söker punkt så att gradienterna till A och g parallella och x,y,z är positiva.

(Piecewise[{{∇A=λ ∇g}, {g=0}}])⇔(Piecewise[{{(z+((x y)/(Sqrt[(x^2)+4 (z^2)])),(Sqrt[(x^2)+4 (z^2)]),x+((4 y z)/(Sqrt[(x^2)+4 (z^2)])))=λ ((1/2)y z,(1/2)x z,(1/2)x y)}, {(1/2)x y z-V =0}}])

⇔(Piecewise[{{(x z+(((x^2) y)/(Sqrt[(x^2)+4 (z^2)])),y (Sqrt[(x^2)+4 (z^2)]),x z+((4 y (z^2))/(Sqrt[(x^2)+4 (z^2)])))=(λ/2) (x y z,x y z,x y z)}, {(1/2)x y z-V =0}}])

Ekvation (koordinat) 1 och 3 ger:

x z+(((x^2) y)/(Sqrt[(x^2)+4 (z^2)]))=x z+((4 y (z^2))/(Sqrt[(x^2)+4 (z^2)]))⇔x=2 z

Ekvation 1 och 2 ger nu:

2(z^2)+((4 (z^2) y)/(Sqrt[8 (z^2)]))=y (Sqrt[8 (z^2)])⇔y=(Sqrt[2]) z

Bivillkoret ger slutligen

(1/2) (2 z) ( (Sqrt[2]) z) z=V=>(Subscript[z, opt])=((((V/(Sqrt[2]))))^(1/3))

4.32

Vi ska bestämma max/min till funktionen

f(x,y,z)=x+y+z

under bivillkoren är g(x,y,z)=0∧h(x,y,z)=0 där

(Piecewise[{{g(x,y,z)=(x^2)+(y^2)+(z^2)-2}, {h(x,y,z)=(x^2)+(y^2)-z}}])

Skärningen utgör en kompakt mängd, nämligen en cirkel med radien 1, dvs. min och max existerar. Vi söker punkter där gradienterna ∇f,∇g och ∇h är linjärt beroende.

𝔾=(({{∇f}, {∇g}, {∇h}}))=>(Det[𝔾])=0

I detta fall får vi

(Det[({{1, 1, 1}, {2x, 2y, 2z}, {2x, 2y, -1}})])=0⇔4 x z+2 x-4 y z-2 y=0

Detta ger tillsammans med bivillkoren följande ekvationssystem:

(Piecewise[{{(Det[𝔾])=0}, {g(x,y,z)=0}, {h(x,y,z)=0}}])⇔(Piecewise[{{4 x z+2 x-4 y z-2 y=0}, {(x^2)+(y^2)+(z^2)-2=0}, {(x^2)+(y^2)-z=0}}])⇔(Piecewise[{{x-y=0}, {(x^2)+(y^2)=1}, {z=1}}])⇔(Piecewise[{{x=±(1/(Sqrt[2]))}, {y=x}, {z=1}}])

Vi får därmed två olika punkter:

(Subscript[𝕡, 1])=((1/(Sqrt[2])),(1/(Sqrt[2])),1)=>f((Subscript[𝕡, 1]))=(1/(Sqrt[2]))+(1/(Sqrt[2]))+1=1+(Sqrt[2])

(Subscript[𝕡, 2])=(-(1/(Sqrt[2])),-(1/(Sqrt[2])),1)=>f((Subscript[𝕡, 2]))=-(1/(Sqrt[2]))-(1/(Sqrt[2]))+1=1-(Sqrt[2])

där uppenbarligen (Subscript[𝕡, 1]) är maxpunkt.

Grafik

I bilden nedan är det gröna planet nivåytan f=1+(Sqrt[2]).