SF1626 - Övning 8

Göran Andersson goeran@kth.se, 110414

6.34

Vi använder polära koordinater:

(Piecewise[{{x=r cos(θ)}, {y=r sin(θ)}}])=>((d(x,y))/(d(r,θ)))=(Det[({{cos(θ), -r sin(θ)}, {sin(θ), r cos(θ)}})])=r

=>𝒟'={(r,θ):0≤r,0≤θ≤2π}

ℐ=(Underscript[∫∫, (ℝ^2)])(x^2) (e^(-(Sqrt[(x^2)+(y^2)]))) dx dy=(Underscript[∫∫, 𝒟'])(((r cos(θ)))^2)(e^(-r)) r dr dθ

=(∫_0^(2π)) (cos^2)(θ)dθ(∫_0^∞)(r^3)(e^(-r))dr =(∫_0^(2π)) (1/2) (1+cos(2 θ))dθ(∫_0^∞)(r^3)(e^(-r))dr=π(∫_0^∞)(r^3)(e^(-r))dr

Den sista integralen kan bestämmas med upprepad partiell integration. Ett bekvämare sätt är dock att ansätta

∫(r^3)(e^(-r))dr=(e^(-r)) (Subscript[p, 3])(r)

där (Subscript[p, 3])(r)=(∑_(i=0)^3)(Subscript[a, i])(x^i) är ett 3:e-gradspolynom, och derivera. Identifiering ger (Subscript[a, 0])=-6.

Dvs.

ℐ=(Subscript[π [(e^(-r)) (Subscript[p, 3])(r)], r=0]^∞)=π ((lim_(r->∞)) (e^(-r)) (Subscript[p, 3])(r)-(Subscript[a, 0]))=6π

6.35

𝒟={(x,y):1≤x≤2∧y≥0}

(Underscript[∫∫, 𝒟]) ((dx dy)/(1+(x^2)(y^2)))=(∫_1^2) ((∫_0^∞)(1/(1+(x^2)(y^2)))dy )dx=(∫_1^2) ((Subscript[[(1/x)arctan(x y)], y=0]^∞) )dx

=(∫_1^2) (1/x)((π/2)-0 )dx=(π/2)(∫_1^2) (1/x)dx=(Subscript[(π/2)[ln(x)], x=1]^2)=(π/2)ln(2)

6.39

𝒟={(x,y):x≥0∧y≥0∧x+y≤1}

Integrationsområdet 𝒟 är en likbent triangel med basen (Sqrt[2]). Om vi betraktraktar

𝒯={(x,y):x,y≥0∧x+y≤u}

så har 𝒯 arean A=(1/2)(u^2) och vi kan skriva

dx dy =dA=((∂A)/(∂u))du=u du

(Underscript[∫∫, 𝒟]) (((1-x-y))^α)dx dy=(∫_0^1) (((1-u))^α)u du(Overscript[=, α>-1])(Subscript[[(((((1-u))^(α+1))u)/(α+1))], u=0]^1)-(1/(α+1))(∫_0^1) (((1-u))^(α+1)) du

=0-(Subscript[(1/(α+1))[((((1-u))^(α+2))/(α+2))], u=0]^1)=(1/((α+1)(α+2)))

6.40

Vi använder polära koordinater:

(Piecewise[{{x=r cos(θ)}, {y=r sin(θ)}}])=>((d(x,y))/(d(r,θ)))=(Det[({{cos(θ), -r sin(θ)}, {sin(θ), r cos(θ)}})])=r

𝒟={(r,θ):r≥0,0≤θ≤2π}

(Underscript[∫∫, (ℝ^2)])((e^(-(Sqrt[(x^2)+(y^2)])))/(Sqrt[(x^2)+(y^2)])) dx dy=(Underscript[∫∫, 𝒟])((e^(-r))/r)r dr dθ=(Underscript[∫∫, 𝒟])(e^(-r)) dr dθ

=(∫_0^(2π)) dθ (∫_0^∞)(e^(-r)) dr=2(Subscript[π [-(e^(-r))], r=0]^∞)=2π

7.1

𝒟={(x,y,z)∶0≤x≤1∧0≤y≤1∧0≤z≤1}

(Underscript[∫∫∫, 𝒟]) (e^(x+y+z))dx dy dz=(∫_0^1)(e^x)dx(∫_0^1)(e^y)dy(∫_0^1)(e^z)dz=((((∫_0^1)(e^x)dx))^3)=(((e-1))^3)

7.3

Integrationsområdet är en cirkulär kon.

𝒟={(x,y,z):(x^2)+(y^2)≤(z^2),0≤z≤1}

(Underscript[∫∫∫, 𝒟]) ((x^2)+(y^2))dx dy dz=(∫_0^1)((Underscript[∫∫, (x^2)+(y^2)≤(z^2)]) ((x^2)+(y^2))dx dy )dz

Vi använder planpolära koordinater:

=(∫_0^1)((∫_0^(2π)) dθ(∫_0^z)(r^2)r dr = )dz=(∫_0^1)(2π·(1/4)(z^4) )dz=(π/10)

7.6

𝒟={(x,y,z):x,y,z≥0∧x+y+z≤1}

Integrationsområdet 𝒟 är en tetraeder. Om vi betraktraktar

𝒯={(x,y,z):x,y,z≥0∧x+y+z≤u}

så har 𝒯 volymen V=(1/3)B h=(1/3)(((Sqrt[3])/2)(u^2))((1/(Sqrt[3]))u)=(1/6)(u^3) och vi kan skriva

dx dy dz=dV=((∂V)/(∂u))du=(1/2)(u^2)du

∴(Underscript[∫∫∫, 𝒟]) (1/(1+(((x+y+z))^3)))dx dy dz=(∫_0^1)(1/(1+(u^3)))(1/2)(u^2)du(Piecewise[{{t=1+(u^3)}, {dt=3(u^2) du}}])

(1/6)(∫_1^2)(1/t)dt=(1/6)ln(2)

8.3

Integrationsområdet 𝒦 är volymen mellan två (motsatt riktade) paraboloider.

Ytorna skär varandra i

(Piecewise[{{z=(x^2)+(y^2)}, {z=2-((x^2)+(y^2))}}])⇔(Piecewise[{{z=1}, {(y^2)+(z^2)=1}}])

Denna kurva begränsar integrationsområdet

𝒟={(x,y):(x^2)+(y^2)≤1}

V=(Underscript[∫∫∫, 𝒦])dx dy dz=(Underscript[∫∫, 𝒟])((∫_((y^2)+(z^2))^(2-((x^2)+(y^2))))dz)dx dy =2(Underscript[∫∫, 𝒟])(1-((x^2)+(y^2)))dx dy

Polära koordinater ger:

𝒟'={(x,y):0≤r≤1,0≤θ≤2π}

V=2(Underscript[∫∫, 𝒟])(1-(r^2))r dr dθ =2(∫_0^(2π))dθ(∫_0^1)(r-(r^3)) dr=π

8.8

Integrationsområdet 𝒦 utgörs av skärningen mellan två paraboliska cylindrar z≤1-(((x/2))^2) och z≤1-(((y/2))^2) för z≥0. För fixt z utgörs snittarean av en kvadrat med arean (2x)(2 y)=4(x^2)=16(1-z).

V=(Underscript[∫∫∫, 𝒦])dx dy dz=(∫_0^1)((Underscript[∫∫, 𝒟])dx dy )dz=(∫_0^1)16(1-z) dz=8