5.2 MacLaurinutvecklingar.

Teorin för Taylor- och MacLaurinutvecklingarna fungerar eftersom resttermerna kan visas vara av tillräckligt liten storleksordning (samma storleksordning som först försummade termen.)
Detta faktum kan också formuleras med ordosymbolen (se längst ned).



MacLaurinutvecklingarna kan fortsättas till oändliga serier som konvergerar för vissa x. MacLaurinserierna för e^x, sinx och cosx visar sig exempelvis konvergera för alla x.

Därmed kan dessa MacLaurin-serier fungera som definitioner (inom seriernas konvergensintervall) av motsvarande elementära funktioner.


Observera att man får 1/(x+1) om man deriverar ln(1+x).
Denna relation visar sig också i MacLaurinutvecklarna: Om man deriverar varje term i ln(1+x)-utvecklingen får man motsvarande term i utvecklingen av 1/(1+x).

Om man ersätter x med x² i 1/(1+x)-utvecklingen får man utvecklingen för 1/(1+x²).. Denna utveckling visar sig vara den man får om man deriverar arctanx-utvecklingen.
Kom ihåg derivatan av arctan x !