Matematik 3 kursplan

Kursplanering 5B1117 Matematik 3 för E1, VT 2004

Version: 2 april 2004.

Nedanstående planering gäller i huvudsak, men detaljer kan komma att ändras under kursens gång.
Detta gäller även datum för lappskrivningar. Dessa ligger normalt på den sista halvtimmen av angiven övning. Exempelvis är lappskrivning nr. 3 (LS3) som omfattar materialet i modul 3 planerad till 26 april, kl. 16.30-17.00.

Av angivna övningsuppgifter kommer några att gås igenom på föreläsningarna eller övningarna, och övriga är lämpliga för självstudium. "AM2" hänvisar till läroboken Petermann, E: Analytiska metoder II, och "Ö" till övningsboken.

Modul 1

Denna modul omfattar två skilda delar: potensserier och dubbelintegraler. Resten av kursen handlar om integraler. Jacobianen (definierad i kursen Matematik II) är ett viktigt verktyg.

Mål:

- Att veta vad som menas med en potensserie och att kunna bestämma konvergensmängden för en sådan.
- Att kunna tolka och ange gränserna för dubbelintegraler, samt
- att kunna beräkna dubbelintegraler genom upprepad enkelintegration och substitution.

Föreläsn/övn/ Lappskr.nr.	Tid	Teori	Övningsuppgifter
F1	3 mars, 8-11	Introduktion till kursen Potensserier (AM2 12.1-2)	Ö:1201a-d,h,i,l, 1203, 1206-1211
F2	5 mars, 9-12	Dubbelintegraler, integrationsgränser (9.1-4)	Ö:901, 903, 904, 907a-c,f,i,j,n,p, 908a-j, 909, 910
Ö1	8 mars, 10-12		Anmälan till LS1
F3	8 mars, 13-16	Substitution i dubbelintegr (9.5)	Ö:919, 920, 921a-i,m,n,r,s,x, 922, 926c,e

Modul 2

I denna modul introducerar vi multipelintegraler, och definierar två flitigt använda begrepp: cylinder- och sfäriska koordinater.

Mål:

- Att kunna beräkna multipelintegraler i allmänhet (även generaliserade sådana) och
- att kunna tillämpa detta på volyms- och areaberäkningar (även areor av buktiga ytor).

Föreläsn/övn/ Lappskr.nr.	Tid	Teori	Övningsuppgifter
F4	9 mars, 9-12	Generaliserade integraler (9.6.2)	Ö:937a,k, 938abfgh
Ö2 + LS1	9 mars, 13-15
F5	10 mars, 9-12	Trippelintegraler (9.7)	Ö:916b-d,h,i,l, 923, 924
F6	16 mars, 9-12	Trippelintegraler, forts., sfäriska och cylinder-koordinater (9.7)	AM2:9.10, Ö:921 d,m,v,w,å,ö
Ö3	16 mars, 13-15		Anmälan till LS2
F7	17 mars, 9-12	Area och volym (9.8)	Ö:926bcef, 927abd, 928bd, 931, 932aik, 933-936

Modul 3

Denna modul omfattar kapitel 10 i AM2. Här läggs grunderna i 2 dimensioner för många av de begrepp vi sedan utvecklar till att använda i 3 dimensioner. Vi konstaterar också att man faktiskt inte alltid behöver räkna ut integraler: I en del fall kan man se att de geometriskt motsvarar en känd area, eller att de blir noll av symmetri-skäl.

Mål:

- Att kunna beräkna linjeinegraler i allmänhet,
- att kunna Greens formel,
- att kunna avgöra när linjeintegraler är oberoende av integrationsvägen, samt
- att kunna bestämma potentialer till vektorfält när sådana finns (konservativa fält).

Föreläsn/övn/ Lappskr.nr.	Tid	Teori	Övningsuppgifter
F8	18 mars 9-12	Linjeintegraler i planet (10.1-2)	Ö:1001-1004, 1011
Ö4 + LS2	18 mars, 13-15
F9	19 mars, 10-12	Greens formel i planet (10.3)	Ö:1005-1007, 1009, 1013, 1020, 1024, 1027, 1032, 1038, 1042, 1048
F10	1 april, 13-15	Konservativa och singulära fält (10.4)	AM2:10.2abde, 10.4, Ö:1016, 1022, 1023, 1029, 1031, 1033, 1043, 1044
Ö5	2 april, 10-12		Anmälan till LS3
F11	2 april, 13-15	Konservativa och singulära fält, forts (10.4)	AM2:10.5, 10.6, Ö:1030, 1029, 1041, 1046, 1050-1052

Modul 4

Här påbörjar vi det viktigaste avsnittet i kursen: kapitel 11 i AM2. Det handlar om skalär- och vektorvärda integraler i R³. Det blir allt viktigare att kunna undvika besvärliga integraler genom olika typer av resonemang. En viktig metod för att slippa besvärliga integraler är Gauss' sats.

Mål:

- Att kunna beräkna flödesintegraler över godtyckliga ytor i rummet.
- Att förstå begreppet divergens och kunna beräkna divergensen av ett vektorfält.
- Att förstå och kunna använda Gauss sats.

Föreläsn/övn/ Lappskr.nr.	Tid	Teori	Övningsuppgifter
F12	26 april, 9-12	Ytintegraler på parameterform (11.1-2)	AM2:11.1-11.3, Ö:1101
Ö6 + LS3	26 april, 15-17
F13	27 april, 10-12	Divergens, Gauss' sats (11.3.1)	AM2:11.4, 11.5, Ö:1102
F14	28 april, 9-12	Gauss' sats, forts., Arkimedes princip (11.3.2)	AM2:11.6-11.8, Ö:1109, 1110a,b
Ö7	28 april, 13-15		Anmälan till LS4
F15	29 april, 10-12	Gauss' sats i mera komplicerade fall	Ö:1110c, 1111

Modul 5

Här presenteras ytterligare två viktiga metoder för att slippa svåra integraler: Stokes' sats och att använda potentialen till ett konservativt vektorfält.

Mål:

- Att kunna beräkna linjeintegraler i rummet.
- Att förstå begreppet rotation och kunna beräkna rotationen av ett vektorfält.
- Att förstå och kunna använda Stokes sats.
- Att kunna avgöra när linjeintegraler är oberoende av integrationsvägen.
- Att kunna bestämma potentialer till vektorfält när sådana finns.

Föreläsn/övn/ Lappskr.nr.	Tid	Teori	Övningsuppgifter
F16	30 april, 10-12	Kurvintegraler i rymden, rotation av vektorfält	AM2:11.9-11.11, Ö:1103-1107
Ö8 + LS4	30 april, 13-15
F17	3 maj, 9-12	Stokes' sats (11.4.1)	AM2:11.12-11.14, Ö:1112-1120
F18	4 maj, 10-12	Konservativa fält, (skalära) potentialer (11.4.2)	AM2:11.15, 11.16, Ö:1121-1128
Ö9	4 maj, 13-15		Anmälan till LS5

Modul 6

Vi introducerar nablasymbolen, med vars hjälp man kan härleda en mängd formler för deriveringsoperatorer. Det är viktigt att man behärskar de vektoralgebraiska räknereglerna från kursen Matematik II. Repetera gärna skalärprodukt, kryssprodukt och lådprodukt. Med nablasymbolens hjälp kan vi t.ex. bestämma vektorpotentialer, eller behandla allmänna kroklinjiga koordinatsystem.
Att kunna beräkna gradienten, divergensen och rotationen i t.ex sfäriska eller cylinderkoordinater kan förenkla många problem.

Mål:

- Att förstå nablasymbolen och kunna nablaräkning.
- att kunna avgöra när vektorfält har en vektorpotential och kunna bestämma denna,
- att kunna omvandla vektorer från kartesiska koordinatsystem till kroklinjiga (särskilt cylinder- eller sfäriska) koordinater och vice versa, samt
- att kunna beräkna gradienten, divergensen och rotationen av ett fält i kroklinjiga (särskilt cylinder- eller sfäriska) koordinater.

Föreläsn/övn/ Lappskr.nr.	Tid	Teori	Övningsuppgifter
F19	5 maj, 9-12	Nablaräkning (11.5.1)	AM2:11.18, 11.19, 11.25
F20	6 maj, 10-12	Vektorpotentialer (11.5.2)	AM2:11.21-11.24
Ö10 + LS5	6 maj, 13-15
F21	7 maj, 10-12	Kroklinjiga koordinater (11.6.1-2)	AM2:11.28, 11.42-11.45, 11.47
F22	10 maj, 9-12	Kroklinjiga koord, forts (11.6.2)	AM2:11.26, 11.31-11.33, 11.35
Ö11	10 maj, 13-15		Anmälan till LS6
F23	11 maj, 10-12	Kroklinjiga koord, forts (11.6.2)	AM2:11.34, 11.36-11.41

Modul 7

Här studerar vi så kallade massintegraler, och vi generaliserar med nablaräkningens hjälp Gauss' och Stokes' satser till universalsatser. Universalsatserna kan vi använda till att förenkla vektorvärda integraler. Vidare presenteras Laplace' och Poissons ekvationer, som kan användas för att beskriva t.ex. elektriska fält.

Mål:

- Att kunna beräkna vissa enkla massintegraler.
- Att kunna använda Gauss' och Stokes' universalsatser.
- Att känna till Laplace' och Poissons ekvationer, och kunna lösa dem i enkla fall.

Föreläsn/övn/ Lappskr.nr.	Tid	Teori	Övningsuppgifter
F24	12 maj, 9-12	Massintegraler (11.7.1)	AM2:11.48-11.50, Ö:1129-1135
Ö12 + LS6	12 maj, 13-15
F25	14 maj, 10-12	Universalsatserna och vektorvärda integraler (11.7.2)	AM2:11.51-11.54
F26	17 maj, 9-12	Universalsatserna, forts (11.7.2)	AM2:11.55-11.59
Ö13	17 maj, 13-15		Anmälan till LS7
F27	18 maj, 10-12	Laplace' och Poissons ekv (11.8), kontinuitetsekvationen (11.9.2)	AM2:11.60

Repetition

Föreläsn/övn/ Lappskr.nr.	Tid	Teori	Övningsuppgifter
F28	19 maj, 9-12	Repetition	Extentan 2003-05-27
Ö14 + LS7	19 maj, 13-15