Här arbetar vi med mängden av följande par:

{ <x,a> | x är en restklass modulo 3 och a är en restklass modulo 4 }.

Kalla denna mängd för Z₃ ⋊ Z₄ ; den semidirekta produkten av Z₃ och Z₄.

1. Hur många element har Z₃ ⋊ Z₄ ?

---

För alla element zÎ Z₃ och a Î Z₄ låt fa(z)= z om a är 0 eller 2 och fa(z) = 2z annars. Inför nu en

operation * på Z₃ ⋊ Z₄ på följande vis: <x,a> * <z,b> = <x + fa(z) , a + b>.

Observera noga att x + fa(z) beräknas modulo 3 och a + b beräknas modulo 4.

Ett annat bekvämt sätt att skriva element i Z₃ ⋊ Z₄ : <x,a> = Xa .

Operationen kan då skrivas Xa * Zb = (X + fa (Z) )_{a +b} .

---

2. Kontrollera att * är associativ. En viktig moment här är att separat visa att

fa (y + fb(z)) = fa(y) + f_{a +b} (z).

3. Visa att <0,0> är det neutrala elementet under * . 
4. Ange ett sätt att beräkna inversen till <x,a>.

---

Vi har gjort 1, 2, 3 och 4 – och därmed bevisat att Z₃ ⋊ Z₄ är en grupp.

---

5. Gruppen är inte abelsk. Ge exempel på element p och s Î Z₃ ⋊ Z₄ som uppfyller p s ¹ s p .

6. Bestäm ordningen hos varje element i Z₃ ⋊ Z₄ .