Kursplanering 5B1219 Vektoranalys och Komplexa funktioner 2006/2007.





Nedanstående planering gäller i huvudsak, men detaljer kan komma att ändras under kursens gång.
lämpliga för självstudium "OB" hänvisar till läroboken Olle Brander: Vektoranalys, och "OS" till Olle Stormark: Komplexa funktioner, medan "OSE" står för tillhörande Exempelsamling.


Modul 1

Denna modul omfattar
  • Fält: skalära fält, vektorfält, och tensorfält
  • Gradient, divergens, rotation. Nablakalkyl.

    Mål:

    - Att kunna skilja på olika sorts fält inom matematisk fysik: skalärfält, vektorfält och tensorfält.
    - Att kunna redogöra för begreppen divergens, rotation och gradient, kunna beräkna divergensen och rotationen av vektorfält samt gradienten av skalärfält.
    - Att kunna förenkla och omforma vektoranalytiska uttryck med hjälp av nablakalkyl.

     
    Föreläsn/övn/
    Lappskr.nr.
    Tid Sal
    Teori
    Övningsexempel
    F1 14 mars, 10.15--12.00 D3
    Introduktion till kursen.
    Matematiska modeller.
    Fält och gradientbegreppen. (OB 1.1--2.3)
    OB: 1.1, 1.2. 2.1, 2.2.
    F2 15 mars, 10.15--12.00 D3
    Vektorer och tensorer. (OB 3.1--3.3) OB: 3.1.

    Ö1 15  mars, 13.15--15.00 Q21, Q22
    Fält och gradientbegreppen.
    Vektorer och tensorer. (OB 1.1--2.3, 3.1--3.3)
    OB: 1.4, 1.5, 1.6.
    2.3, 2.5, 2.6, 2.9. 3.6.
    F3 16 mars, 10.15--12.00 D3
    Nablakalkyl: grad, div, rot. (OB 4.1--4.3) OB: 4.1, 4.2.
    F4 19 mars, 10.15--12.00 D3
    Sammanfattning modul 1.  
    Ö2 19 mars, 13.15--15.00 D32, D35
    Nablakalkyl. OB: 4.3, 4.4, 4.5, 4.6,
    4.8, 4.9, 4.10.

     

    Modul 2

    Denna modul omfattar
  • kurvintegraler, flödesintegraler
  • Gauss och Stokes satser
  • Konservativa fält, skalär potential
  • Vektorpotential
  • Kroklinjiga koordinater.

    Mål:

    - Att kunna beräkna linjeinegraler i rummet och kunna avgöra när de är oberoende av integrationsvägen.
    - Att kunna beräkna flödesintegraler över (i allmänhet krökta) ytor i rummet, givna i parameter- eller ekvationsform
    - Att kunna redogöra för Stokes sats och kunna använda den i samband med beräkning av linje- och flödesintegraler.
    - Att kunna redogöra för Gauss sats och kunna använda den vid beräkning av flödesintegraler
    - Att kunna avgöra när ett vektorfält har en skalär potential och kunna bestämma den när den finns.
    - Att kunna avgöra när ett vektorfält har en vektorpotential och att i enklare fall kunna bestämma en sådan.
    - Att kunna genomföra vektoranalytiska beräkningar av ovanstående slag inte bara i kartesiska koordinater utan även i ortogonala kroklinjiga koordinater (särskilt cylinder- och sfäriska koordinater).


    Föreläsn/övn/
    Lappskr.nr.
    Tid Sal
    Teori Övningsexempel
    F5
    21 mars, 10.15-12.00 D3
    Kroklinjiga koordinater. (OB 5.1--5.2) OB: 5.1, 5.4.
    F6
    22 mars, 10.15-12.00 D3
    Nabla i kroklinjiga koordinater.
    (OB 6.1--6.2)
    OB: 6.2, 6.3.
    Ö3 22 mars, 13.15--15.00 ED32, D35 Kroklinjiga koordinater.
    Nabla i kroklinjiga koordinater.
    (OB: 5.1--5.2, 6.1--6.2)
    OB: 5.6, 5.8, 5.9.
    6.1, 6.4, 6.6, 6.9.
    F7
    23 mars, 10.15-12.00 D3 Linje- och ytintegraler. (OB: 7.1) OB: 7.1.
    F8 26 mars, 10.15--12.00 D3
    Gauss, Stokes, och Greens satser.
    (OB: 7.2--7.5)
    OB:
    Ö4 26 mars, 13.15--15.00
    D31, D32
    Linje- och ytintegraler.
    Gauss, Stokes, och Greens satser.
    (OB: 7.1--7.5)
    OB: 6.1, 6.4, 6.6, 6.9.
    7.5, 7.8, 7.13, 7.14.
    F9 28 mars, 10.15--12.00
    D3 Sammanfattning modul 2.  

     

    Modul 3

    Denna modul omfattar
  • partiella differentialekvationer från matematisk fysik
  • Laplaces och Poissons ekvationer.

    Mål:

    - Att kunna redogöra för hur Laplaces och Poissons ekvationer uppkommer inom matematisk fysik
    - Att kunna lösa Laplaces och Poissons ekvationer i enkla fall.

      OB: 12.1.
    Föreläsn/övn/
    Lappskr.nr.
    Tid Sal Teori Övningsexempel
    F10 29 mars, 10.15-12.00 D3
    Fältekvationer i klassisk fysik. (OB:11.1-11.2) OB: 11.1, 11.3, 11.5, 11.6, 11.7.
    (Ö5) KS1 29 mars, 13.15--15.00 Q21, Q22

    Omfattar Moduler 1 och 2.
    F11 30 mars, 10.15--12.00
    D3 Poissons ekvation. (OB 12.1--12.2)
    F12 11 april, 10.15-12.00 D3
    Poissons ekvation. (OB 12.1--12.2). Randvärdesproblem (OB: 15.1--15.2). OB:15.1.
    Ö6
    11 april, 15.15--17.00 D31, D32
    Poissons ekvation. Randvärdesproblem. Speglingsmetoden. (OB: 12.1--12.2, 15.1--15.2, 16.1--16.3) OB: 12.2, 12.3, 12.6, 15.3, 15.4.
    F13 12 april, 09.15-11.00 D3
    Randvärdesproblem (OB: 15.1--15.2)
    Speglingsmetoden (OB: 16.1--16.3)
    16.1.
    F14 13 april, 10.15-12.00 D3
    Sammanfattning modul 3.  
    Ö7
    13 april, 13.15--15.00 L43, L44 Randvärdesproblem. Speglingsmetoden. (OB: 12.1--12.2, 15.1--15.2, 16.1--16.3) OB: 15.7, 16.2, 16.10.

     

    Modul 4

    Denna modul omfattar
  • analytiska och harmoniska funktioner
  • Cauchy-Riemanns ekvationer
  • harmoniskt konjugat
  • elementära analytiska funktioner: definitionsområden, mångtydighet.

    Mål

    -Att kunna räkna obehindrat med de komplexa talen i kartesisk och polär framställning, kunna tolka relationer mellan komplexa tal geometriskt i enkla fall, kunna bestämma spegelpunkter med avseende på räta linjer och cirklar.
    - Att veta vad som menas med en analytisk funktion och kunna avgöra om en given funktion är analytisk eller ej, t. ex. genom att kontrollera Cauchy-Riemanns ekvationer. Veta vad som menas med en konform avbildning.
    - Att veta vad som menas med en harmonisk funktion och kunna, till en given harmonisk funktion, bestämma en harmoniskt konjugerad funktion. - Att kunna redogöra för de elementära analytiska funktionerna, t. ex. kunna definiera dem, beräkna derivator av dem, utreda eventuella mångtydigheter och bestämma naturliga definitionsområden.


    Föreläsn/övn/
    Lappskr.nr.
    Tid Sal Teori Övningsexempel

    F15
    23 april, 10.15--12.00
    D3
    Komplexa avbildningar, komplexa tal. Riemannsfären. Polär framställning.
    Spegling, invertering. (OS: 1--3)
    OSE: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10.
    F16
    25 april, 10.15--12.00
    D3
    Polynom, exponentialfunktionen. Derivator och CR ekvationerna. Övriga elementära funktioner. (OS: 4--7) OSE: 19, 20, 22--24, 27, 31.
    Ö8
    25 april, 15.15--17.00 D31, D32 CR ekvationerna. Elementära analytiska funktioner. Konforma avbildningar.
    (OS: 1--7, 9--11)
    OSE: 7, 8, 11, 13, 14, 15--18, 25, 27, 29, 35, 36, 41.
    F17 26 april, 10.15-12.00 D3
    Konforma avbildningar. (OS: 9--11) OSE: 44, 47, 50, 54.
    F18 27 april, 10.15-12.00 D3
    CR ekvationerna och harmoniska konjugat. Sammanfattning modul 4.  
    (Ö9) KS1-rep 27 april, 13.15-15.00 E52, E53

    Omfattar Moduler 1 och 2.

     

    Modul 5

    Denna modul omfattar
  • konforma avbildningar, Möbiusavbildningar
  • lösning av Laplaces ekvation med hjälp av konform avbildning.

    Mål:

    - Att kunna veta vad som menas med en Möbiustransformation och kunna avgöra hur en given Möbiustransformation avbildar ett givet cirkelområde eller halvplan; och omvänt, givet två sådana områden kunna bestämma en Möbiustransformation som avbildar det ena på det andra.
    - Att i enkla fall kunna avgöra även hur andra elementära funktioner avbildar olika områden och, omvänt, kunna bestämma en analytisk funktion som utför en given konform avbildning.
    - Att kunna lösa vissa randvärdesproblem för Laplaces ekvation genom konform avbildning på områden (t. ex. halvplan eller cirkelskiva) för vilka explicita lösningsmetoder finns tillgängliga.


     
    Föreläsn/övn/
    Lappskr.nr.
    Tid Sal Teori Övningsexempel
    F19 2 maj, 10.15-12.00
    D3
    Fourierserier, Fouriertransformen. Laplaces ekvation i rektanglar. Konforma avbildningar. (OS: 8--11) OSE: 55, 56, 61.
    F20 3 maj, 10.15-12.00
    D3
    Fourierserier, Fouriertransformen. Laplaces ekvation i rektanglar. Konforma avbildningar. (OS: 8--11) OSE: 58, 63.
    Ö10 3 maj, 13.15-15.00 D32, D35 Fourierserier, Fouriertransformen. Laplaces ekvation i rektanglar. Konforma avbildningar.
    (OS: 8--11)
    OSE: 57, 59, 60, 62.
    F21 4 maj, 10.15-12.00
    D3
    Randvärdesproblem. (OS:12)  
    F22 7 maj, 10.15-12.00
    D3
    Sammanfattning modul 5.  
    (Ö11) KS2 7 maj, 13.15--15.00 D32, D35
    Omfattar moduler 4 och 5.


     



    Avslutning och tentaträning.


    Föreläsn/övn/
    Lappskr.nr.
    Tid Sal Teori Övningsexempel

    F23 8 maj, 10.15--12.00 D3
    Tentaträning.  
    Ö12 9 maj, 13.15--16.00 D31, D32 Tentaträning.  
    F24 14 maj, 10.15--12.00 D3
    Tentaträning.  
    F25 16 maj, 10.15--12.00 D3
    Tentaträning.  

    Tentamen
       TENTAMEN                                         
                                                                                                   24 maj , 14.00-19.00