Kontrollskrivning 26/04 2012

Kontrollskrivning KS gavs den 26:e april kl:08:00-09:00 och de rättade skrivningarna finns på matte-expeditionen.

Tentamen 31/05 2012

Tentan är nu rättad och detaljer finns här.

Föreläsningsinformation

2012-05-21 Under Föreläsning 11 visade jag först hur konfidensintervall och test är nära relaterade: man kan testa för ett visst parametervärde genom att göra ett konfidensintervall och se om det innehåller det givna värdet, och man kan konstruera ett konfidensintervall genom att utgå från ett test och skapa intervallet som alla parametervärden som inte förkastas av testet.

Sedan talade jag om chi-2test, test av given fördelning och test av fördelning med skattade parametrar. Jag hann presentera mycket kort homogenitetstest, vi återkommer till den under nästa föreläsning.

2012-05-11 Föreläsning 10 ägnades helt åt statistiska test, med grundbegrepp som nollhypotes, mothypotes eller alternativ hypotes, teststorhet, p-värde, signifikansnivå och styrka eller styrkefunktion. Det är många nya begrepp, men kom ihåg att när man konstruerar ett test så utgår man nästan alltid från samma storhet (teststorheten) som man använder när man konstruerar konfidensintervall för den parameter som man undersöker. Det finns två huvudmetoder för att utföra ett test: antingen beräknar man ett p-värde, eller så sätter man en signifikansnivå i förväg och beräknas kritiska gränser för teststorheten. Jag hann tala mycket kort om att konfidensintervall och test är nära relaterade. Vi återkommer till detta under nästa föreläsning.

2012-05-08 Föreläsning 9 inleddes med en repetition av den generella arbetsgången för att ta fram ett konfidensintervall. Detta användes sedan för att konstruera ett konfidensintervall för skillnaden mellan väntevärdena i två normalfördelningar med samma varians, den situation som ofta kallas "två stickprov". Den gemensamma okända variansen skattas då med en s k polad variansskattning, och jag berättade varför den ser ut som den gör. Vidare beskrev jag modellen stickprov i par (eller parvisa observationer), dvs då man har data från två behandlingar e dyl på ett antal objekt/individer. Skilj noga på denna situation, kontra modellen ''två stickprov''!

Därefter talade jag om konfidensintervall baserade på normalapproximation, med exempel som skattning av sannolikheten p i Bin(n,p) och om konfidensintervall för monotona funktioner av parametrar.

2012-04-27 Föreläsning 8 inleddes med en repetition av egenskaper av punskattning. Sedan introducerade jag begreppet konfidensintervall, illustrerat på skattning av väntevärde i normalfördelnig med känd varians (exempel 12.1 och 12.2 i boken). Sedan berättade jag om fallet med okänd standardavvikelse, som då måste skattas (med stickprovsstandardavvikelsen). Då får den standardiserade skattaren en t-fördelning, och konfidensintervallet konstrueras mha kvantiler för denna fördelning.

Den generella arbetsgången för att ta fram ett konfidensintervall är som följer: (i) skriv upp den parameter som skall skattas, (ii) hitta en (punkt)skattare av denna parameter, (iii) beräkna fördelningen för skattaren (denna fördelning innehåller parameterar, speciellt den som skall skattas), (iv) hitta en transformation av skattaren (i regel en subtraktion av och/eller division med parameterar, stickprovsstorlek o dyl) till en ny stokastisk variabel vars fördelning inte innehåller några parametrar, (v) stäng in denna nya s.v. mellan kvantliler uppåt och nedåt, en händelse som inträffar med en viss stor sannolikhet (som blir konfidensgraden), och (vi) skriv om olikheterna för att få parametern som skall skattas i mitten, och på så sätt ett konfidensintervall.

2012-04-26 Föreläsning 7 var den första i statistikavsnittet av kursen. Huvudbudskapet var att när man (upp)skattar en parameter (t ex väntevärde, varians eller proportion) i en statistisk fördelning, så kan man se det (i) som att man beräknar ett numeriskt värde (skattningen) utifrån de (numeriska) data man har, men också (ii) som att de data man har är observationer av stokastiska variabler och att den funktion man bildar av dessa (stickprovsvariabeln, eller skattaren) med syftet att skatta parametern också kan ses som en stokastisk variabel, som värdet (skattningen) i (i) är en observation av. Just detta synsätt (eller insikt) att en skattare är en stokastisk variabel är grundpelaren för hela den statistiska delen av kursen. Tänk igenom detta, och också de viktiga begreppen väntevärdesriktighet och medelfel, som är en uppskattning av standardavvikelsen hos en skattare.

Kapitel 10 om beskrivande statistik hann jag inte säga något om, så läs igenom detta själva. Medelvärde, stickprovsvarians och -standardavvikelse kommer att användas flitigt som skattningar av motsvarande parametrar i fördelningar.

2012-04-23 På föreläsningen fredag den 20/04 ersätts Tatjana Pavlenko av Tobias Rydén.

2012-04-18 Temat för föreläsning 5 var två-dimensionella stokastiska variabler, vilket helt enkelt betyder att man betraktar två stycken stokastiska variabler på en gång. Naturligtvis kan det också vara fler än två. Viktigt att veta är hur sannolikhetsfunktion, täthetsfunktion och väntevärden fungerar för flerdimensionella variabler. Definitionerna är uppenbara generaliseringar av de som gäller i en dimension; t ex får man sannolikheten att en kontinuerlig variabel tar ett värde i en viss mängd genom att integrera dess täthet över mängden. Med marginalisering menas att man "plockar bort" den ena variabeln; t ex får man tätheten för X genom att integrera tätheten för (X,Y) över y-variabeln. Ett annat viktigt begrepp är oberoende stokastiska variabler. Vi diskuterade några olika funktioner av oberoende variabler som summa, maxima och minima. På slutet definierades kovarians och korrelation, som är sammanfattande mått för att beskriva det linjära beroendet mellan två stokastiska variabler. Mycket mer än definitionen blev det dock inte, och kovarians ska vidare diskuteras på fredag. Ni kan vänta med övningarna i kapitel 5 till efter dess, om ni vill.

2012-04-12 Föreläsning 4 handlade om kontinuerliga stokastiska variabler. En sådan stokastisk variabel kan anta alla värden på tallinjen, eller ett intervall av reella tal. Man kan säga att den totala sannolikhetsmassan 1 är kontinuerligt utsmetat på tallinjen (eller ett intervall). Precis hur sannolikhetsmassan är fördelad beskrivs av täthetsfunktionen, som är det viktigaste begreppet för kontinuerliga stokastiska variabler, och motsvarar sannolikhetsfunktionen för diskreta dito. En grundprincip är att sannolikheten att en kontinuerlig stokastisk variabel faller i en viss delmängd av tal (t ex ett intervall), fås genom att integrera täthetsfunktionen över denna mängd. Viktigt är också hur väntevärdet av (en funktion av) en kontinuerlig stokastisk variabel definieras/beräknas. Notera att definitionen är analog med motsvarande för en diskret stokastisk variabler, men vi byter sannolikhetsfunktion mot täthet och summa mot integral. Begreppet fördelningsfunktion är användbart t ex när man vill beräkna täthetsfunktionen för en stokastisk variabel som är en funktion av en annan kontinuerlig stokastisk variabel. Begreppet kvantil hann jag men ganska hastigt på slutet. Läs själva i boken! Vi återkommer också till kvantiler under statistikavsnittet av kursen.

2012-03-30 Föreläsning 3 handlade om diskreta stokastiska variabler. En stokastisk variabel är helt enkelt ett numeriskt resultat från ett slumpmässigt experiment. Med en diskret stokastisk variabel menar vi (i regel) en sådan variabel som antar heltalsvärden 0,1,2,... Viktiga begrepp är sannolikhetsfunktion (som egentligen bara är en beteckning) och väntevärde, samt hur väntevärde definieras/beräknas. Viktigt är också hur väntevärdet av en funktion av en diskret stokastisk variabel definieras/beräknas. Den diskuterade jag i samband med begreppet varians, men ganska hastigt på slutet. Vad jag inte hann tala om är begreppet standardavvikelse. Läs själva i boken! Vi kommer också tillbaka till dessa begrepp under nästa föreläsning.

2012-03-23 Föreläsning 2 hade som huvudtema betingad sannolikhet. Viktiga räkneprinciper är total sannolikhet och, för att "vända på betingning", Bayes sats. Begreppet oberoende händelser fanns också med, men ganska hastigt på slutet. Läs gärna igenom avsnitt 2.7 i boken extra ordentligt! Observera t ex att om A1, A2, ... An är n stycken oberoende händelser så gäller att P(minst en av A1,A2,...,An inträffar) = 1 - P(alla av A1*,A2*,...,An* inträffar) = 1-P(A1*)P(A2*)...P(An*). Varför?

2012-03-21 Föreläsning 1 innehöll en introduktion till kursen, begreppen union, snitt, komplement och disjunkta händelser, den klassiska sannolikhetsdefinitionen, samt en del kombinatorik för att beräkna antalet möjliga och gynnsamma utfall i olika problem (avsnitt 2.4-2.5 i kursboken). Läs själva avsnitt 2.5, a) och b) i boken där två urnmodeller använd för att illusterera dragning utan och med återläggning.