Som uppvärmning och motivation kan man läsa detta

Kontrollskrivning 30/1 kl 0800-1000

Kontrollskrivningen omfattar kapitel 1-4, dvs inte som tidigare sagts kapitel 1-5. Tillåtna hjälpmedel är fickräknare men inte formelsamling eller Beta.

Lediga platser finns endast i sal Q1.

Sal L22 används för elever med utökad skrivtid.

Föreläsningsinformation

Gick igenom felfortplantning (alternativt namn Gauss-approximation) där man helt enkelt lineariserar en funktion g(X) kring punkten E(X) och räknar som om funktionen var linjär.

Kapitel 12 om konfidensintervall (osäkerhetsintervall). Härledning av konfidensintervall då data är utfall av oberoende normalfördelade variabler N(μ,σ₀) där spridningen σ₀ är känd. Detta genomfördes som ett program i fem punkter. Resultatet framgår av formelsamlingens 12.1 λ-metoden.

Approximativa konfidensintervall med exempel på opinionsundersökning. En mycket viktig situation och vanlig situation som beskrivs av formelsamlingen i 12.3 Approximativa metoden där kontentan är att intervallet blir

skattning ± 1.9600 medelfel

om man vill göra ett approximativt 95%-igt konfidensintervall.

Studerade dels en enskild opinionsundersökning samt förändringen mellan två opinionsundersökningar och kom då osökt in på begreppet ''förändringar inom felmarginalen'' och lite om hypotesprövning som dyker upp i nästa kapitel.

Som ytterligare exempel på användning av den mycket nyttiga approximativa metoden studerade vi ett (fiktivt) exempel med antalet trafikdöda två olika år där vi ansatte Poissonfördelningar och beräknade ett (approximativt) konfidensintervall för förändringen.

Situationen "ett normalfördelat stickprov" där spridningen σ är okänd.

Konstruktion av konfidensintervall för μ med hjälp av t-fördelning. som kan studeras i FS 12.2.

Intervallet blev ungefär som då spridningen var känd med den skillnaden att percentilerna skall hämtas från Tabell 3 i stället för från Tabell 2. Går igenom detta fall lite fylligare nästa föreläsning).

Ungefärligt föreläsningsinnehåll. (Alternativ 1).

Ungefärligt föreläsningsinnehåll (Alternativ 2).

2013-02-12 Nionde föreläsningen.

Inledning om det viktiga kapitel 11 om punktskattningar med utgångspunkt i exemplet om opinionsundersökning beskrivet i avsnitt 11.2 i läroboken. Begreppen väntevärdesriktigtighet och medelfel.

Nämnde att vi i kapitel 12 om konfidensintervall kommer att se att intervallet

skattning ± 1.9600 medelfel

ger övre och undre gräns för parameterna som gäller med approximativt 95% säkerhet.

Allmänt om punktskattningar med begreppen parameter, statistisk modell, punktskattning och stickprovsvariabel.

Pratade lite om hur man skattar μ respektive σ² då data är utfall av oberoende likafördelade stokastiska variabler med väntevärde μ och varians σ². Aritmetiskt medelvärde och s² utgör väntevärdesriktiga och konsistenta skattningar. Det kan dock finnas effektivare skattningar i speciella situationer och här är ett exempel på detta. Detta exempel har en viss likhet med the German tank problem som användes under andra världskriget av de allierade för att skatta produktionen av tyska stridsvagnar.

Maximum likelihoodmetoden illustrerades med ett exempel med Poisson-fördelade mätdata. ML-metoden ger i princip de effektivaste skattningarna. För den (mycket) intresserade ges här en (ganska svår) genomgång av teoretisk statistik.

Minsta kvadratmetoden illustrerades med exemplet enkel linjär regression som behandlas mer utförligt i kapitel 14.

Ungefärligt föreläsningsinnehåll. (Alternativ 1).

Ungefärligt föreläsningsinnehåll (Alternativ 2).

2013-02-06 Åttonde föreläsningen.

Kapitel 7 om binomialfördelning och dess släktingar.

Om binomialfördelning. Typsituationerna för binomialfördelningen och Hypergeometrisk fördelning. Framställning av binomialfördelningen som fördelning för summa av indikatorer. Detta användes för att ta fram väntevärde och varians för binomialfördelningen.

Tumregel för normalapproximation av binomialfördelningen med Centrala gränsvärdessatsen.

Lite om Hypergeometrisk fördelning, framför allt hur den kan approximeras med binomialfördelning då andelen valda kulor är litet i förhållande till urnans storlek, vilket svarar mot att det då inte spelar någon roll om dragningen sker med eller utan återläggning. För den intresserade finns här en härledning av väntevärde och varians för den hypergeometriska fördelningen som jag antydde på föreläsningen.

Se gärna uppkomstsätt för ffg, binomial- respektive hypergeometrisk fördelning.

Sats om att summan av oberoende Poisson-fördelade stokastiska variabler är Poisson-fördelad. Detta bevisades en tidigare föreläsning med hjälp av sannolikhetsgenererande funktion (ligger lite utanför kursen). Bevisade samma sak direkt med hjälp av faltning.

Feluppskattning för approximation av binomial- med Poisson-fördelning som motiverar varför Poisson-fördelning är så vanlig som modell för "sällsynta händelser", t ex antal telefonanrop, bränder eller åsknedslag etc.

För approximationer: se jämförelserna mellan Bin(25,0.2)-fördelning och Po(5), Bin(50,0.1)-fördelning och Po(5) samt mellan Bin(500,0.01)-fördelning och Po(5).

Ungefärligt föreläsningsinnehåll (Alternativ 2).

2013-01-28 Sjunde föreläsningen.

Stora talens lag, dvs att aritmetiska medelvärdet av summor av oberoende likafördelade stokastiska variabler konvergerar mot väntevärdet, vilket är en viktig tolkning av väntevärdet. Som specialfall kan man ta "relativa frekvensers stabilitet" som vi talade om i kapitel 2.

Sats om att summan av oberoende Poisson-fördelade stokastiska variabler är Poisson-fördelad. Detta bevisades med hjälp av sannolikhetsgenererande funktion (ligger lite utanför kursen men kunde inte låta bli att visa det).

Kapitel 6 om normalfördelningen. Definition och egenskaper, speciellt egenskapen att alla linjärkombinationer av oberoende normalfördelade stokastiska variabler är normalfördelade. Lite om användningen av Φ-tabell dvs tabell över fördelningsfunktionen för den standardiserade normalfördelningen N(0,1).

Som varning att det krävs någon form av oberoende för att summor av normalfördelade skall bli normalfördelad ges följande motexempel.

Centrala gränsvärdessatsen illustrerad med poängsumma av många tärningskast.

För den intresserade: Ett bevis av Centrala gränsvärdessatsen med hjälp av Laplacetransform (momentgenererande funktion) samt ett bevis med Fourier-transform (karaktäristisk funktion).

Ungefärligt föreläsningsinnehåll. (Alternativ 1).

Ungefärligt föreläsningsinnehåll (Alternativ 2).

2013-01-24 Sjätte föreläsningen.

Inledning om kapitel 5 om väntevärden. Definition av väntevärde E[X] för stokastisk variabel och dess tolkningar som tyngdpunkt i sannolikhetsfördelningen, ett viktat medelvärde där vikterna är sannolikheterna samt som medelvärde av "många" oberoende upprepningar av försöket (Stora talens lag).

Gav exemplen X='resultat av ett tärningskast', X='summan av två tärningskast', X='kvadraten på ett tärningskast',X är Poissonfördelad respektive exponentialfördelad Exp(λ).

Formler för E(g(X)).

Gick igenom S:t Petersburgsparadoxen i enlighet med Exempel 5.8 i läroboken.

Införde variansen V(X) (och standardavvikelsen D(X)) som spridningsmått.

Formel att V(X)=E(X²) - (E(X))² som brukar kallas Steiners regel inom mekaniken.

Visade räknelagar för väntevärden och varianser:

• E[aX + b] = aE[X] + b
• V(aX + b) = V(aX) = a²V(X)

Beskrev hur vi får E(g(X,Y)) och noterade att intressanta fall var g(X,Y)=XY, g(X,Y)=X+Y samt g(X,Y)=X.

Räkneregler för väntevärde och varians varvid begreppet kovarians dök upp som mått på beroende.

Införde C(X,Y)=kovariansen mellan X och Y som beroendemått där

C(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y)

samt korrelationskoefficienten=C(X,Y)/(D(X)D(Y)) och varnade för okritisk användning av denna som mått på orsakssamband. Visade att oberoende variabler är okorrelerade (dvs har C(X,Y)=0) genom attE(XY)=E(X)E(Y). Observera att omvändningen inte gäller.

Följande räknelagar för väntevärden och varianser är viktiga:

• E[aX + b] = aE[X] + b
• V(aX + b) = V(aX) = a²V(X)
• E[X + Y] = E[X] + E[Y]
• V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2C(X,Y) (borde ha visats)

• E[XY] = E[X]E[Y].
• C(X,Y) = 0
• V(X + Y) = V(X) + V(Y)

Ungefärligt föreläsningsinnehåll. (Alternativ 1).

Ungefärligt föreläsningsinnehåll (Alternativ 2).

2013-01-22 Femte föreläsningen.

Kapitel 4 om flerdimensionella stokastiska variabler med särskild tonvikt på det viktiga fallet med oberoende variabler. Notera att avsnittet 4.8 om betingad fördelning inte ingår i SF1901, men kommer att dyka upp lite i nästa period i SF1904.

Tittade också på fördelningen för Z=g(X,Y) i några intressanta fall som Z=max(X,Y) samt Z=min(X,Y) och Z=X+Y där det sistnämnda resulterade i en faltning.

Inledning om kapitel 5 om väntevärden. Definition av väntevärde E[X] för stokastisk variabel och dess tolkningar som tyngdpunkt i sannolikhetsfördelningen, ett viktat medelvärde där vikterna är sannolikheterna samt som medelvärde av "många" oberoende upprepningar av försöket (Stora talens lag).

Ungefärligt föreläsningsinnehåll. (Alternativ 1).

Ungefärligt föreläsningsinnehåll (Alternativ 2).

2013-01-17 Fjärde föreläsningen.

Repetition av de viktiga begreppen diskret fördelning samt kontinuerlig fördelning.

Begreppet fördelningsfunktion dvs F_X(x)=P(X≤x) som kan användas för att beräkna
P(a < X≤b)=F_X(b)-F_X(a). För kontinuerlig fördelning (fördelning med täthet) gäller

F_X(b)-F_X(a)=P(a < X≤b)=P(a≤ X ≤b)=P(a < X < b)= P(a ≤ X < b) eftersom P(X=x₀)=0 oavsett x₀.

Fördelningsfunktion är lite ointuitiv men praktisk vid kalkyler.

Använde tabell 5 för att beräkna P(X≤17) då X är Poissonfördelad med parameter 8.5.

Lite om uppräknelighet.

Avsnitt 3.10: Funktioner Y=g(X) av en stokastisk variabel som exemplifierades med Y=(X-3)² för den diskret fördelning samt Y=signum(X)=tecknet för X samt Y=X². Tog fram sannolikhetsfunktion för Y=signum(X) allmänt då X har täthet. Tog fram tätheten för Y=X² då X är kontinuerlig där lärdomen var att man måste utföra en kalkyl och inte kan gissa resultatet.

Studerade det intressanta faktum att om F är en inverterbar fördelningsfunktion och U är likformigt fördelad på intervallet (0,1) så får X=F^-1(U) fördelningsfunktionen F. Detta kan användas för att generera slumptal med godtycklig fördelning med hjälp av likformigt fördelade slumptal. Detta utnyttjas vid simulering som beskrivs i Kapitel 8 i läroboken i avsnittet 8.4, men som inte ingår i kursen.

Ungefärligt föreläsningsinnehåll. (Alternativ 1).

Ungefärligt föreläsningsinnehåll (Alternativ 2).

2013-01-15 Tredje föreläsningen.

Ytterligare en illustration jag borde ha hunnit med redan förra gången var analysen av ett diagnostiskt test enligt en artikel om Bayes' sats och positiva resultat i mammografi från en artikel i Scientific American January 2012.

Kapitel 3 om stokastiska variabler som exemplifierades med

• poängsumman av två tärningskast
• ffg(1/6)-fördelningen (för antalet tärningskast t o m första 6:an)
• Bin(20,1/6) (för antalet 6:or i 20 tärningskast.)
• Opinionsundersökning Bin(1000,0.04)-fördelning
• Hyp(30,15,1/2)-fördelning som dök upp vid test av astrologer (innehåller också material från senare kapitel)
• Po(1.5)-fördelningen
• Po(5)-fördelningen

Poisson-fördelning dyker upp som modell för t ex inloggningar till ett datasytem, antal telefonanrop, antal åskväder etc. Vidare pratade jag lite om att den också kunde dyka upp som en modell för ihjälsparkade kavallerister - ett exempel vi återvänder till senare i kursen.

Ovanstående var alla exempel på diskreta fördelningar, dvs sådana där man har ändligt (eller möjligen uppräkneligt oändligt) antal tänkbara värden på de stokastiska variablerna. Vidare behandlades kontinuerliga fördelningar (sådana med tätheter), men detta fortsätter vi med på torsdag.

Ungefärligt föreläsningsinnehåll. (Alternativ 1).

Ungefärligt föreläsningsinnehåll (Alternativ 2).

2012-01-18 Andra föreläsningen.

Första föreläsningen presenterades lite om kombinatorik och vi redde ut de tre intressanta fallen med hjälp av multiplikationsprincipen. Alltså dragning med återläggning med hänsyn till ordning, dragning utan återläggning med och utan hänsyn till ordning. Använde detta för att härleda sannolikheten att få k röda kulor då man ur en urna med v vita och r röda kulor drar n kulor med respektive utan återläggning. Detta har kopplingar till Binomialfördelningen och Hypergeometriska fördelningen som presenteras i kapitel 3 och 7. Dragning utan återläggning illustrerades med test av astrologer som vi kommer att återvända till i kapitel 13 om hypotesprövning. Vad gäller dragning med återläggning illustrerades detta med antal 6:or i 20 tärningskast

Begreppet betingad sannolikhet samt oberoende. Lagen om total sannolikhet samt Bayes sats (som kan användas för att vända på betingning). Detta användes för att vända på betingning i cigarettpaketens text "9 av 10 med strupcancer är rökare" till att få sannolikheten för strupcancer givet att man var rökare respektive icke-rökare. Dock krävdes att man känner sannolikheten för strupcancer respektive hur vanlig rökning är.

Ytterligare en illustration jag borde ha hunnit med var analysen av ett diagnostiskt test enligt en artikel om Bayes sats och positiva resultat i mammografi från en artikel i Scientific American January 2012.

Se gärna godiset : Monty Halls problem (bilen och getterna) och Persi Diaconis videoföredrag från Princeton On coincidences. Här en nyhetsartikel om ett föredrag av Persi Diaconis om slantsingling.

Ungefärligt föreläsningsinnehåll. (Alternativ 1).

Ungefärligt föreläsningsinnehåll (Alternativ 2).

2012-01-17 Första föreläsningen.

Grundläggande terminologi. Slumpförsök, utfall, utfallsrum och händelse med exempel på diskreta utfallsrum.

Tolkning av mängder som händelser och mängdlärans operationer: komplement, union och snitt. De Morgans lagar. Omöjliga och oförenliga händelser.

Tolkning av sannolikhetsbegreppet. Relativa frekvensers stabilitet. Kolmogorovs axiomsystem och några satser som följer ur detta.

Klassisk sannolikhetsdefinition som är tillämplig då elementarutfallen kan anses vara lika sannolika. Lite om kombinatorik, dvs svaret på frågan "På hur många sätt kan man...." samt begreppen "Med/Utan återläggning" samt "Med/Utan hänsyn till ordning".

Redde ut de tre intressanta fallen med hjälp av multiplikationsprincipen. Alltså dragning med återläggning med hänsyn till ordning, dragning utan återläggning med och utan hänsyn till ordning. Beviset av det återstående fallet, dragning med återläggning utan ordningshänsyn, ingår inte i kursen.

Ungefärligt föreläsningsinnehåll (Alternativ 1).

Ungefärligt föreläsningsinnehåll (Alternativ 2).