2013-09-13 Fjärde föreläsningen.

Föreläsningen handlade om kontinuerliga stokastiska variabler. Jag började med repetition av de viktiga begreppen diskret fördelning och övergick till definition av kontinuerlig stokastisk variabel.

En sådan stokastisk variabel kan anta alla värden på tallinjen, eller ett intervall av reella tal. Man kan säga att den totala sannolikhetsmassan 1 är kontinuerligt utsmetat på tallinjen (eller ett intervall). Precis hur sannolikhetsmassan är fördelad beskrivs av täthetsfunktionen, som är det viktigaste begreppet för kontinuerliga stokastiska variabler, och motsvarar sannolikhetsfunktionen för diskreta dito. En grundprincip är att sannolikheten att en kontinuerlig stokastisk variabel faller i en viss delmängd av tal (t ex ett intervall), fås genom att integrera täthetsfunktionen över denna mängd.

Begreppet fördelningsfunktion dvs F_X(x)=P(X≤x) som kan användas för att beräkna
P(a < X≤b)=F_X(b)-F_X(a). För kontinuerlig fördelning (fördelning med täthet) gäller

F_X(b)-F_X(a)=P(a < X≤b)=P(a≤ X ≤b)=P(a < X < b)= P(a ≤ X < b) eftersom P(X=x₀)=0 oavsett x₀.

Viktigt är också hur väntevärdet av (en funktion av) en kontinuerlig stokastisk variabel definieras/beräknas. Notera att definitionen är analog med motsvarande för en diskret stokastisk variabler, men vi byter sannolikhetsfunktion mot täthet och summa mot integral.

Begreppet kvantil hann jag diskutera mycket kort på slutet. Läs själva i boken! Vi återkommer också till kvantiler under statistikavsnittet av kursen.

2013-09-11 Tredje föreläsningen.

Föreläsning 3 handlade om diskreta stokastiska variabler. Begreppen stokastisk variabel, diskret stokastisk variabel och sannolikhetsfunktion definierades, liksom begreppet väntevärde (för diskreta s.v.). Jag gick igenom ett antal viktiga diskreta fördelningar:

• likformig fördelning
• ffg(1/6)-fördelningen (för antalet tärningskast t o m första 6:an)
• Bin(20,1/6) (för antalet 6:or i 20 tärningskast.)
och
• Poissonfördelningen, se tex Po(5)-fördelningen, Po(1.5)-fördelningen

2013-09-06 Andra föreläsningen.

Föreläsning 2 hade som huvudtema betingad sannolikhet. Viktiga räkneprinciper är total sannolikhet och, för att "vända på betingning", Bayes sats. Begreppet oberoende händelser fanns också med. Skilj noga mellan oberoende och disjunkta!

För n stycken oberoende händelser, A1, A2, ... An, sannolikheter att alla, ingen och någon inträffar diskuterades. Läs gärna igenom avsnitt 2.7 i boken extra ordentligt!

En illustration av Bayes sats ges på slutet med exempel av sjukdomsdiagnostik. Läs mer om ett diagnostiskt test, Bayes sats och positiva resultat i mammografi i en artikel från Scientific American January 2012.

2013-09-03 Första föreläsningen.

Föreläsning 1 innehöll introduktion till kursen samt kort presentation av deskriptiv statistik. Vidare grundläggande terminologi, slumpförsök, utfall, utfallsrum och händelse med exempel på diskreta utfallsrum diskuterades.

Tolkning av mängder som händelser och mängdlärans operationer: komplement, union och snitt. De Morgans lagar. Omöjliga och oförenliga händelser.

Tolkning av sannolikhetsbegreppet. Relativa frekvensers stabilitet. Kolmogorovs axiomsystem och några satser som följer ur detta.

Klassisk sannolikhetsdefinition som är tillämplig då elementarutfallen kan anses vara lika sannolika. Kort om kombinatorik, dvs svaret på frågan "På hur många sätt kan man....", multiplikationsprincipen med exemplel. Läs själva avsnitt 2.5, a) och b) i boken där två urnmodeller använd för att illusterera dragning utan och med återläggning. Detta vidare har kopplingar till Binomialfördelningen och Hypergeometriska fördelningen som presenteras i kapitel 3 och 7.