Aktuell information för SF1904
På denna sida presenteras aktuell information som vad som behandlats på föreläsningar samt schemaändringar etc.


Tentan 2017-05-30 finns nu under länken

           Gamla tentor för SF1904.


Tid för tentan i Augusti 2017 är nu fastslagen. Den går fre 18 augusti 08.00-13.00. Anmälningstid: 5 juli-31 juli.


På indexsidan (sidan med alla länkarna) står det att en av lathundarna är tillåten som hjälpmedel på tentamen. Därför står  det (till skillnad från föregående tentor)  i huvudet på den kommande tentan 30 maj att hjälpreda till miniräknare är tillåtet hjälpmedel på tentamen.

      Alla ska aktivera sig på rapp. Använd "aktiv".

OBS! Föreläsningen tis 28 mars 13-15 är flyttad från B2 till Q1.

Tis 9 maj Började med att reda ut förhålllandet mellan regularitet och stationaritet och berättade att den enda varianten av fyra som inte finns är att en process är icke-reguljär och stationär.Skrev upp gränsfördelningen, förväntat antal kunder, l och förväntad kölängd,lq för M/M/1-systemet. Därefter introducerades M/M/2-systemet och gränsfördelningen togs fram för detsamma utgående från att det är en födelse-dödsprocess. Härledde också förväntat antal kunder, l i M/M/ 2- systemet,och tog ur det fram förväntad kölängd,lq. Därefter visades hur dödsintensiterna för ett M/M/c-system ser ut och i samband med detta gavs en mycket snabb översikt av formlerna i §16.2. Gick sedan igenom det mest grundläggande om Jackson-nätverk och räknade igenom ett gammalt tentatal som exempel på detta. Hann sedan endast peka på § 16.3 och tala om att det på sista övningen kommer att räknas en uppgift på situationen Poissonfördelade ankomster med betjäningstider som inte är exponentialfördelade.Dessutom bad jag om att man skulle fylla i kursutvärderingen som väl kommer ungefär senast tre veckor efter tentamen och påpekade att det med stor sannolikhet är fel i lösningen till tentatalet 20160819:1d och att rätt svar nog är 1/30(19,4,7).

Tis 2 maj Började med att definiera begreppet Födelse-dödsprocess. Löste sedan ekvationssystemet  0=?Q för att få
fram den stationära lösningen om den existerar, varvid faktorn ?i introducerades på ett naturligt sätt. Visade sedan hur man kan visa villkoren för att processen ska vara reguljär och skrev upp villkoret för att Födelse-dödsprocessen skall vara reguljär samt villkoren för att den ska vara staionär(är den stationär så är den också reguljär). Började sedan med köteori och igenom nästan alla beteckningar på sid 11 i formelsamlingen (§16.1). Visade Littles formel och att om man vet värdet på en av l,lq,w och wq så kan man beräkna de övriga om man känner till ankomstintensiteten,betjäningsintensiteten och trafikintensiteten.
Därefter introducerades M/M/1-systemet och jag tog fram gränsfördelningen för detsamma utgående från att det är en födelse-dödsprocess och visade att villkoren för stationaritet uppfylls. Härledde till sist förväntat antal kunder, l i M/M/1- systemet,och tog ur det fram förväntad kölängd,lq.


Tor 20 apr
Började med att repetera definitionen av Markovprocess i kontinuerlig tid, tidshomogen process, hur intensitetsmatrisen och uthoppssannolikhetsmatrisen ser ut samt att tiden till uthopp är exponentialfördelad. Visade som exempel på hur elementen i  Q kan se ut ett exempel av tillförlitlghetskaraktär, nämligen exempel 6.3 i kompendiet. Jämförde sedan formlerna för absorption i det kontinuerliga fallet med dem i det diskreta fallet. Härledde därefter Kolmogorovs framåt-respektive bakåtekvationer som visar att vi kan få P(t) ur Q. Skrev dessutom upp det konkreta systemet av kopplade diffekvationer p'(t)=p(t)Q som behövs för att erhålla de obetingade sannolikheterna. Definierade därpå stationär fördelning och visade att den kan fås genom att lösa 0=?Q.(som härleddes utgående från ekvationssystemet ?=?P(t) och Kolmogorovs framåtekvation.) Berättade att en irreducibel kedja ( mer allmänt att kedjan har bara en sluten irreducibel delklass) på ett ändligt E är ergodisk.(Här i det kontinuerlga fallet finns ju ingen period ,så här är ju aperiodiciteten inget krav.) För kedjor med oändligt E krävs också att det existerar en stationär fördelning. Notera att den inbäddade hoppkedjan som beskrivs av uthoppssannolikhetsmatrisen mycket väl kan få vara periodisk. Skrev upp hur ?i kan tolkas som andel av tiden som en ergodisk kedja ligger i tillstånd i, och även formeln för den förväntade tiden man ligger tillstånd j mellan två besök i tillstånd i, och jämförde även här med det diskreta fallet. Gick därefter igenom Poissonprocessen. Fortsatte med att gå igenom födelseprocessen( som ju Poissonprocessen är ett specialfall av). Avslutade med att visa att vi kan få explosion, dvs att man når oändligheten på ändlig tid och visade (tillräckligt och nödvändigt) villkor för att detta inte skall ske.

 


Tor 6 apr Började med att ta om exemplet som jag alltför hastigt gick igenom förra föreläsningen. Ett exempel med en aperiodisk  Markovkedja med 4 tillstånd, varav ett absorberande, ett genomgångstillstånd och 2 tillstånd som bildar en sluten irreducibel delklass. Detta är ett exempel på när man får oändligt många stationära fördelningar eftersom kedjan ej är irreducibel men ändlig. Eftersom kedjan dessutom är aperiodisk och den slutna delklassen irreducbel och aperiodisk så finns det för varje startfördelning en stationär fördelning som också är gränsfördelningen för just den startfördelningen. Visade hur denna såg ut för en godtycklig startvektor genom att visa hur man med  A-kedjemetodik kan  beräkna sannolikheten att absorberas i den slutna irreducibla delklassen. Eftersom den är aperiodisk konvergerar fördelningen mot den stationära i den slutna irreducibla delklassen om man väl absorberats i denna delklass.

Gick sedan igenom att i en ergodisk kedja kan asymptotiska sannolikheterna ?i fås som andelen av tiden som kedjan tillbringar i tillståndet i. Detta ger ?i=1/E(Ti) där Ti är tiden mellan två besök i tillstånd i . Det gäller då även att att ?j/?i är förväntat antal besök i j mellan två besök i tillstånd i eftersom om t ex denna kvot är två bör man göra dubbelt så många besök i j som i i dvs i genomsnitt 2 st per cykel baserad på i. Gjorde ett exempel på detta.

Gjorde sedan ett exempel med en aperiodisk irreducibel övergångsmatris med oändligt antal tillstånd där det visades att det i vissa fall existerade en lösning som därmed är den enda och att kedjan därmed är ergodisk.

Började sedan med Markovprocesser i  kontinuerlig tid. Införde övergångssannolikheterna pij(t) som bildar matrisen P(t). Skrev upp Chapman-Kolmogorovs ekvationer i kontinuerlig tid och visade på likheten med motsvarande ekvationer i diskret tid. Tog även upp att processen skall vara reguljär, d.v.s. bara ha ändligt många övergångar på ändlig tid.
Berättade efter detta att eftersom vi har tidshomogena processer som  saknar minne är tiden till uthopp från ett tillstånd i exponentialfördelad exp(qi), där qi är uthoppsintensiteteten och visade minneslösheten hos exponentialfördelningen.

Tog sedan fram intensitetsmatrisens element genom att högerderivera övergångsmatrisens element i nollan m.a.p. på tiden Införde sedan  övergångsintensitetsmatrisen Q. Visade därefter att på diagonalen i Q står qii som måste vara negativt och visade att qi=-qii så att man  i Q-matrisen på diagonalen kan läsa av uppehållsstidernas fördelningar (de är Exp(qi).Visade att varje radsumma=0 i Q.Visade till sist att sannolikheten för hopp från i till j är qij/qi. . 


Tis 28 mar  Började med att gå igenom begreppen absorberande tillstånd, genomgångstillstånd och A-kedja. Använde övningsuppgift 16 i läroboken som exempel för att visa  hur man räknar ut sannolikheten att absorberas i tillstånd j vid start i tillstånd i, samt för att räkna ut den genomsnittliga tiden för absorption vid start i tillstånd i. Gick sedan igenom begreppen sluten och irreducibel. Illustrerade detta med en egen tillståndsgraf. Gick efter detta igenom definitionerna för när en fördelning är  stationär och när den är ergodisk. Gick därefter igenom definition 4.4 i läroboken för att definiera begreppet aperiodisk och en kedjas period. Illustrerade detta m.h.a. tre olika tillståndsgrafer. Tog sedan en irreducibel och aperiodisk Markovkedja med 3 tillstånd som exempel på när man får en och endast en stationär fördelning oberoende av startfördelning. Tog  därefter en ändlig och irreducibel Markovkedja med 2 tillstånd med perioden 2 som exempel på när man får en statonär fördelning som beror av startfördelningen. Tog till sist ett exempel med en aperiodisk  Markovkedja med 4 tillstånd, varav ett absorberande, ett genomgångstillstånd och 2 tillstånd som bildar ett slutet irreducibelt underrum som exempel på när man får oändligt många stationära fördelningar eftersom kedjan ej är irreducibel men ändlig.

  


Tis 21 mar
  Presenterade först kursens hemsida som hittas på http://www.math.kth.se/matstat/gru och visade olika länkar och dess innehåll. Repeterade sedan begreppen betingad sannolikhet och lagen om total sannolikhet från grundkursen.
Definierade därefter begreppet stokastisk process och visade exempel på sådana.  Definierade även  begreppen parameterrum och tillståndsrum innan definitionen för en Markovprocess presenterades. Gav efter det några exempel på Markovprocesser. Gick sedan igenom begreppen övergångssannolikhet, övergångsmatris, uthoppssannolikhet fördelningsvektor och startfördelning. Räknade sedan ett exempel på detta utgående från en tillståndsgraf. Visade till sist Chapman-Kolmogorovs ekvationer.





 

[Kurshemsida]     [Kursförteckning]     [Avdelningen Matematisk statistik]
Sidansvarig: Boualem Djehiche
Uppdaterad: 2015-01-21