KTH Mathematik


Matematisk statistik
SF1914/SF1915/SF1916 Sannolikhetsteori och statistik för CFATE3/CDEPR3/CLGYM3-MAKE/CMAST3/CITEH3.

                                          
Aktuell information.
 

Följ denna sida kontinuerligt. Här ges fortlöpande information om schemaändringar, vad som gåtts igenom på föreläsningar etc.

Administrativa ärenden

I ärenden som är administrativa kontakta studentoffice@math.kth.se

Laboration 2 fredag 9/10 kl 8-12

Lab 2 är frivillig. Den som har godkänt resultat på Lab 2 får tillgodoräkna sig uppg 12 på ordinarie tentamen och första omtentamen.

De som önskar redovisa Laboration 2 måste boka en redovisningstid senast onsdag 7/10 kl 23.59 (se instruktionen nedan).

Se till att komma till labsalen minst tio minuter före redovisningstiden så att ni hinner logga in på datorn och öppna Matlab samt ta fram era redovisningsuppgifter.

Ni behöver också ha med er en utskrift av labspecifikationen som ni har skrivit era personnummer på förstasidan på. Denna utskrift undertecknar labassistenten efter att han eller hon har godkänt labben och utskriften fungerar sedan som ert kvitto på resultatet.

Instruktion om hur man anmäler sig till Lab 2

(Det finns 5 grupper per kvart, max ( och helst)  2 studenter per grupp.) Gå in i kalender. Klicka på "Hitta möte". Välj kurs. Klicka på "Lämna in". Välj tid. Klicka på "Reservera".

Om ni är två personer i labbgruppen - ENDAST en (av er två) ska skicka reservationen i Kalender
(i Kommentar till Reservationen kan ni däremot ange vilka ni två som är i labbgruppen).

                                        Mer om datorlaborationerna

Utöver föreläsningar och övningar innehåller kursen två frivilliga datorlaborationer. Studenter som godkänts på den andra av dessa laborationer får tillgodoräkna sig uppgift 12 på del I och får dessutom 3 bonuspoäng på del II av den ordinarie tentamen och det första omtentamenstillfället.

Laboration 1 är både en introduktion till hur man använder MATLAB i sannolikhetsteori och statistik och en förberedelse till den andra datorlaborationen. Det finns möjlighet att få handledning på denna laboration under ett schemalagt laborationspass.

Laboration 2  som är den bonusgrundande datorlaborationen utförs i grupper om 2 studenter 9 oktober, men de skriftliga förberedelseuppgifterna ska lösas individuellt. Varje grupp kommer att få boka ett femton minuter långt redovisningstillfälle i datorsal. Både de skriftliga individuella förberedelseuppgifterna och laborationsuppgifterna måste vara färdigställda före redovisningstillfället. Det kommer inte att ges möjlighet till handledning i datorsal, men det finns möjlighet att i begränsad omfattning fråga övningsledarna om hjälp i samband med övningsundervisningen.

Redovisningstillfällen för datorlaboration 2 kommer att bokas i kalendern i Canvas och detaljerad information om hur detta görs skickas ut under kursens gång strax efter kontrollskrivningen.

Syftet med datorlaborationerna är att ge en fördjupad förståelse för de begrepp och den teori som tas upp i kursen och samtliga studenter rekommenderas därför att delta på datorlaborationerna.



Tentamen kommer att vara en vanlig salstentamen

Tentamen består av två delar. Del I för godkänt och del II för högre betyg. Se Examinationsregler Tentamen kommer att bestå av en Del I med 12 flervalsfrågor (endast svar krävs) och en Del II med uppgifter som kräver lösningar. Del II kommer att bestå av fyra uppgifter som vardera ger 10 poäng. Tillåtna hjälpmedel: Formel och tabellsamling som delas ut vid tentamenstillfället,samt miniräknare.

Föreläsningar

Föreläsningarna kommer att ges på sal. Efter varje föreläsning kommer jag att längst ner på denna sida under rubriken Föreläsningsdagbok skriva en kort sammanfattning av vad som gåtts igenom på varje föreläsning. Där finns även skissartade föreläsningsanteckningar som är av varierande utförlighet och kvalitet.

Inspelade föreläsningar

Det finns också inspelade föreläsningar.De ligger på media gallery på canvassidan. På sidan Videoföreläsningsdagbok finns en dagbok där huvuddragen av respektive föreläsning sammanfattats. Där står också hur lång respektive föreläsning är. Kolla det innan ni börjar titta. Eftersom de är inspelade så är de ibland utvidgade versioner av föreläsningarna jag håller på sal. Detta beror på att jag inte har behövt bestämma mig för om jag ska lägga dem på en nivå för de som bara vill ha godkänt eller på en nivå för de som vill ha lite mer fördjupning utan jag gör både och. Ljudet blir bättre om man använder hörlurar till sin laptop.

Övningar

Övningarna kommer att ges på sal. Även övningarna finns inspelade, (men är inte identiska med de som ges i direkttid på sal även om det oftast är samma uppgifter som gås igenom) och länkar till dem finns under respektive övning på länken Övningsplan , förutom övning 15 som ligger på media gallery på canvassidan.

                                                Formel och Tabellsamling på tentamen

På tentan kommer inte egen medhavd  Formelsamling och tabellsamling i matematisk statistik att tillåtas som hjälpmedel. I stället delas  Formelsamling och tabellsamling i matematisk statistik ut vid själva tentamenstillfället och lämnas sedan in igen av tentanden tillsammans med tentan.

                               Kontrollskrivningen ons 16 sep

Kontrollskrivningen Onsdagen 16/9 kl 13-15 omfattar kap 2-5 i kurslitteraturen.De studenter som får godkänt på kontrollskrivningen får tillgodoräkna sig uppgift 1-3 på del I på den ordinarie tentamen och på första omtentamenstillfället. Kontrollskrivningen kommer att bestå av 5 uppgifter. För att få godkänt krävs minst 3 rätt. Tillåtet hjälpmedel är miniräknare. Inga lösningar skall lämnas in utan endast svar på den medföljande svarsblanketten.

Föreläsningsdagbok




Tor 17 sep Började med att repetera begreppen TÄTA,TÄTA*,TÄTA*obs. Presenterade därefter Maximum-Likelihood-metoden och räknade exempel 11.10 i läroboken som exempel på denna. Gick sedan igenom Minsta-kvadrat-metoden. Gick först igenom exempel 11.19 i läroboken som exempel på hur Minsta-kvadrat-skattning går till när mätdata kommer från stok. var. med samma varians och där två saker ska skattas. Gick sedan igenom tentauppg 7 i tentan 2026-04-07 som exempel på hur Minsta-kvadrat-skattning går till när mätdata kommer från stok. var. med olika varians. Definierade sedan begreppet konsistent skattning. Definerade därefter begreppen väntevärdesriktighet och effektivitet och tog ett par enkla exempel på dessa.

Mån 14 sep Avslutade kap 7 med att härleda hur sannolikhetsdefinitionen för Binomialfördelningen övergår i sannolikhetsfunktionen för Poissonfördelningen om p är litet, vilket motiverar att om p<0.1 så gäller att Bin(n,p)~Po(np). Inledde sedan kapitel 10 med att definiera medelvärde, stickprovsvarians, populationsvarians, variationskoefficient, median, kovarians och korrelationskoefficient, begreppen grupperade data, absolut och relativ frekvens, klassindelade data, och histogram. Avslutade kapitel 10 med att gå igenom hur man gör en boxplott och visade i samband med detta hur man tar fram kvartiler och percentiler. Började sedan kap 11 med att redogöra för skillnaden mellan det riktiga värdet TÄTA, stickprovsvariabeln TÄTA* och punktskattningen TÄTA*obs. Tog som exempel på skattning hur man brukar skatta väntevärdet my och standardavvikelsen sigma vid okänd fördelning. Tog sedan som  ytterligare exempel på skattningar hur man skattar  p i Binomialfördelningen,Hypergeometriska fördelningen och ffg-fördelningen,my i Poissonfördelningen, lambda i exponentialfördelningen samt my och sigma i Normalfördelningen.

Fre 11 sep Började med att skriva upp att varje linjärkombination av oberoende Normalfördelade stokastiska varaibler är Normalfördelad. Räknade exempel 6.2a,b som exempel på detta. Fortsatte med att med att presentera den viktiga Centrala Gränsvärdessatsen (C.G.S.), som säger att summan av n oberoende likafördelade stokastiska variabler är approximativt Normalfördelad om n är stort och att detta även medför att medelvärdet är approximativt Normalfördelat.Räknade exempel 6.6 som exempel på C.G.S. Inledde sedan kap 7 med Hypergeometriska fördelningen och skrev upp dess sannolikhetsfunktion. Definierade sedan Binomialfördelningen och skrev upp dess sannolikhetsfunktion. Talade om att Hyp(N,n,p)~ Bin(n,p) om n/N<0.1. Visade sedan utgående från Bernoullifördelningen att villkoret np(1-p)>10 för Normalapproximation av Binomialfördelningen egentligen är ett C.G.S.-villkor. Gick sedan igenom begreppet halvkorrektion. Gick  därefter  in på  Poissonfördelningen.Genom att kombinera satsen om att summan av oberoende Poissonfördelade stokastiska variabler är Poissonfördelad med att dela upp intervallet där X är Poissonfördelad i många delintervall visades att  villkoret µ>15  för normalapproximation  egentligen är ett C.G.S.-villkor.


Ons 9 sep Började med att repetera definitioner och begrepp från föregående föreläsning. Började sedan med att visa att V(X)=C(X,X). Gick sedan igenom räkneregler för kovarianser och skrev upp att C(aX+bY,cZ+dW)=acC(X,Z)+adC(X,W)+bcC(Y,Z)+bdC(Y,W) vilket bl.a. leder till den viktiga regeln att V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2C(X,Y) och att V(X+Y)=V(X)+V(Y) om X och Y är oberoende. Sammanfattade därefter med att upprepa följande viktiga räkneregler för väntevärden och varianser: E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c V(aX+b)=V(aX)=a²V(X) samt om X och Y är oberoende V(X+Y)=V(X)+V(Y). Tog sedan fram väntevärde och standardavvikelse för medelväret av n st ober stokastiska variabler. Fortsatte med att skriva upp att uppmätt värde = korrekt värde+ systematiskt fel+ slumpmässigt fel, och att dålig noggrannhet är det samma som stort systematiskt fel medan dålig precision är det samma som stort slumpmässigt fel.Skrev sedan upp Stora talens lag och Tjebysjovs olikhet. Inledde sedan kap 6 med att skriva upp täthetsfunktionen och fördelningsfunktionen för Normalfördelningen. Skrev efter det upp täthetsfunktionen och fördelningsfunktionen för standardiserade Normalfördelningen N(0,1). Skrev sedan upp att om X är N(E[X],D[X]) så gäller att Y=(X-E[X])/D[X] är N(0,1). Berättade sedan om när och hur man använder Tabell 1 och Tabell 2 i formelsamlingen och vad alfa-kvantilen är. Tog efter det fram P(E[X]-kD[X] < X < E[X]+kD[X]) för k=2 när X är N(E[X],D[X]) som exempel på hur Tabell 1 används. Tog sedan fram fram a när P(E[X]-aD[X]<X<E[X]+aD[X])=0.95 som exempel på hur Tabell 2 används.

Fre 4 sep Började med kapitel 5 och startade med att berätta att väntevärdet är vad man får i genomsnitt om man gör oändligt många försök. T.ex. blir ju det genomsnittliga värdet av ett tärningskast 3.5. Gjorde sedan exempel 5.1 i boken,och räknade därigenom ut E(X). Skrev sedan upp definitionen för E(X) resp. E(g(X)) i det diskreta fallet och det kontinuerliga fallet. Tog sedan och räknade ut E(X²) i Ex. 5.1 i boken. Visade sedan genom ett enkelt exempel att E(X²) inte är lika med (E(X))² i allmänhet. Definierade därefter medianen xtilde som definieras av att P(X<xtilde)=0.5. Definierade sedan variansen V(X) och standardavvikelsen D(X). Sedan använde jag mig även här av ex 5.1 i boken för att räkna ut variansen m.h.a. definitionen. Härledde sedan ur definitionen formeln V(X)=E(X²)-(E(X))². Definierade även variationskoefficienten R(X)=D(X)/E(X). Gick sedan igenom följande räkneregelför väntevärden: E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c. Härledde sedan ur definitionen formeln V(X)=E(X²)-(E(X))². Efter detta visades att V(aX+b)=V(aX)=a²V(X). Definierade sedan begreppet kovarians och och begreppet korrelationskoefficient och berättade om dess egenskaper.Visade också att V(X)=C(X,X). Skrev upp att om X och Y är oberoende så leder det till att E(XY)=E(X)E(Y) vilket i sin tur leder till att C(X,Y)=0 D.v.s. om X och Y är oberoende så leder det alltid till att X och Y är okorrelerade.Gjorde sedan ex 5.13 i Blom för att visa att X och Y kan vara okorrelerade utan att vara oberoende. Som övning på att räkna ut en kovarians gjorde jag övningsuppgift 5.18. Visade också här att om X och Y är okorrelerade behöver det inte leda till att X och Y är oberoende.
 

Ons 2 sep Började med att avsluta kapitel 3 genom att gå igenom funktioner av stokastiska variabler. Började med att gå igenom det diskreta fallet. Tog som exempel 3.16 i Blom. Gick sedan igenom det kontinuerliga fallet. Tog som exempel 3.20 och 3.19 i Blom. Började sedan kapitel 4 med att gå igenom flerdimensionella diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler. Gick igenom begreppen simultan sannolikhetsfunktion repektive simultan täthetsfunktion och hur man ur dessa får fram den marginella sannolikhetsfunktionen respektive den marginella täthetsfunktionen och hur man vid oberoende även kan gå åt andra hållet. Visade också hur man räknar ut sannolikheter i det två-dimensionella diskreta och kontinuerliga fallet. Tog som exempel i kontinuerliga fallet uppg 14 på januaritentan 2024. Fortsatte med att visa hur man tar fram Fördelningsfunktionen för max(X,Y) och min(X,Y) utgående från Fördelningsfunktionerna för X respektive Y. Avslutade kapitel 4 med att som exempel på summa visa att summan av ober Poisonfördelade stok.var. är Poissonfördelad.

Tis 1 sep Började med att gå igenom Binomialfördelningen. Gick sedan igenom Poissonfördelningen och skrev upp satsen som säger att summan av oberoende Poissonfördelningar också är Poissonfördelad. Tog exempel 7.7 i Blom som exempel på detta. Började sedan med kontinuerliga stokastiska variabler. Definierade täthetsfunktionen och gick igenom hur man ur den får fram Fördelningsfunktionen och vice versa. Gick därefter igenom exponentialfördelningen. Fortsatte med att visa att tiden mellan två händelser är exponentialfördelad om antalet händelser är Poissonfördelat. Visade även att exponentialfördelningen saknar minne. Berättade att eftersom hela kapitel 6 ägnas åt Normalfördelningen gås den igenom då. Gick sedan igenom den likformiga fördelningen och tog som exempel på denna exempel 3.9 i läroboken. Avslutade med att ta exempel 3.14 i läroboken som exempel på en blandad fördelning av diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler.

Fre 28 aug Började med att repetera betingningsformeln och lagen om total sannolikhet genom att snabbrepetera ex 2.17. Fortsatte sedan med att visa Bayes sats m.h.a. Venndiagram och tog exempel 2.19 som exempel på denna. Visade sedan ex 2.20 som en intressant tillämpning av Bayes sats. Fortsatte med att visa definitionen för oberoende utgående från betingningsformeln. Tog sedan exempel 2.23 som exempel på oberoende. Inledde sedan kapitel 3 med att gå igenom begreppet stokastisk variabel och definera sannolikhetsfunktionen. Tog som exempel på denna ex 3.1 i läroboken och ritade även upp stolpdiagrammet. Definierade sedan Fördelningsfunktionen och berättade om dess egenskaper. Tog som exempel på denna ex 3.1 i läroboken och ritade även upp den. Gick sedan igenom ett antal viktiga diskreta fördelningar. Började med tvåpunktsfördelningen och då speciellt Bernouillifördelningen. Visade sedan den diskreta likformiga fördelningen. Fortsatte med för-första-gången-fördelningen och den snarlika geometriska fördelningen. Avslutade med den Hypergeometriska fördelningen.

Ons 26 aug Inledde kombinatoriken med multiplikationsprincipen och den klassiska sannolikhetsdefinitinen. Gick sedan igenom draging med återläggning med hänsyn till ordning och tog som exempel att antal pinkoder blir 10^4 eftersom antal kombinationer när man drar k ggr från n element blir n^k. Som exempel på dragning utan återläggning med hänsyn till ordning tog jag sedan en förening med 8 medlemmar som skulle välja ordförande,sekreterare och kassör vilket ger 8 ggr 7 ggr 6 kombinationer. Allmänna fallet n!/(n-k)! kombinationer. Gick sedan igenom dragning utan återläggning utan hänsyn till ordning. Tog som exempel hur många pokergivar det finns. 52!/(5! ggr 47!). D.v.s. 52 över 5 gånger. I allmänna fallet har vi n över k kombinationer. Gick därefter igenom sannolikheten att vid n dragningar utan återläggning utan hänsyn till ordning dra k gula kulor från g gula och n-k blå kulor från b blå. Utvidgade sedan detta till sannolikheten att dra k gula; l blå och r röda o.s.v när man har f färger. Började sedan med betingad sannolikhet. Illustrerade betingningsformeln m.h.a. exemplet på sid 26 i läroboken. Visade lagen om total sannolikhet m.h.a. Venndiagram och tog exempel 2.17 som exempel på denna.

Mån 24 aug Presenterade först kursens hemsida och visade olika länkar och dess innehåll. Fortsatte sedan med att ge exempel på olika användningsområden som ämnet matematisk statistik har och denna kurs ger en introduktion till. Började sedan med att gå igenom utfall,utfallsrum,händelser.Förklarade därefter skillnaden mellan diskret och kontinuerlig fördelning. Tog övningsuppgift 2.1a och b som exempel på diskreta utfallsrum. Gick sedan igenom snitt, union, komplement och visade hur man med hjälp av Venndiagram räknar ut sannolikheter. Definierade i samband med detta disjunkthet. Avslutade med att introducera det mest grundläggande i kombinatoriken, nämligen multiplikationsprincipen och den klassiska sannolikhetsdefinitinen.
Sidansvarig: Björn-Olof Skytt
Skapad: 2026-08-21