Exempel på "analysfrågor" relaterade till listan med teorifrågor

Tentamen del 2 handlar i huvudsak om att formulera numeriska metoder och skriva matlabprogram för dem. Någon annan fråga om att analysera fel och beräkningsarbete relaterad till nedanstående kan också komma. En alternativ teorifråga formulera och bevisa ... enligt 1-10 nedan kommer också.

1. Formulera och bevisa en sats om konvergens för Newtons metod.
Vad betyder kvadratisk konvergens i praktiken? Vilken linjarisering görs? Är konvergensen kvadratisk för f(x)=...? Hur avtar felet för Newtons metod för f(x)=...? Bestäm en startgissning till Newtons metod för f(x)=... Bestäm fixpunktiterationerna för Newtons metod för f(x)=...

2. Formulera och bevisa en sats om konvergens av fixpunktiterationer.
Bestäm fixpunktern för g(x)=... Vilka fixpunkter är stabila? Givet två fixpunktiterationer med samma fixpunkt, vilken metod har snabbast lokal konvergens? Hur beter sig felet i fixpunktiterationerna för g(x)=...?

3. Formulera och bevisa en sats om konditionstal för lösning av linjära ekvationsystem.
Bestäm matrisnormen av A=... . Ge en uppskattning av relativa felet i lösningen x till Ax=b om det relativa felet i b är ... Vad är konditionstal? Vad betyder illa-konditionerat? Vad är arbetet för att lösa linjärt ekvationssystem med N obekanta och Gauss eliminering? Om konditionstalet är ... vad är en uppskattning av felet i Gausseliminering med enkel (dubbel) precision? Om konditionstalet är ... vilken precision behövs för att Gausseliminering ska ge ... korrekta siffror?

4. Formulera och bevisa en feluppskattning för approximation av en funktion med styckvis polynom, t.ex. styckvis konstant.
Vad är konvergens av ordning 2? Vad krävs av en funktion för att styckvis linjär approximation ska ha konvergensordning 2?

5. Formulera en differenskvot som approximerar derivatan av en reellvärd funktion av en variabel och härled en feluppskattning.
Vad krävs av en funktion för att centraldifferensapproximation av andraderivatan ska bli andra ordnings noggrann? Tillämpa differensapproximation för givna funktionsvärden. Använd Taylors formel för att visa differensapproximationen ...

6. Härled en feluppskattning för approximation av integraler med någon kvadraturmetod, t.ex. Eulers metod.
Vad blir felet för Eulers metod om f(x)= ... . Ge ett exempel när Eulers metod inte är första ordningens noggrann.

7. Härled en feluppskattning av det lokala felet för Eulers metod.
Vad krävs för att lokala felet i Eulers metod ska vara av andra ordningen? Ge ett exempel när lokala felet i Eulers metod inte är av andra ordningen.

8. Formulera och bevisa en sats som relaterar det globala och lokala felet för approximation av ordinära differentialekvationer med Eulers metod.
Uppskatta det globala felet i Eulers metod om det lokala felet är ... och max_y |df(t,y)/dy| < ... Formulera Eulers metod för differentialekvationen (skriv först som ett system ...) När är Eulers metod stabil för ...

9. Formulera och bevisa en sats om stabilitet av en explicit differensmetod för värmeledningsekvationen.
Hur ska delta t och delta x väljas för att differensmetoden ... ska vara stabil?

10. Formulera och bevisa en sats om konvergens av potensmetoden för egenvärdesproblem.
Vad ger två iterationer med potensmetoden för A=... . Om 2x2 matrisen A= ... har egenvärden a och b ge en uppskattning av felet i potensmetoden efter n iterationer.