DIAGNOSTISKT PROV FÖR MATEMATISK SYSTEMTEORI (2003)

(Beklagar typografin -- HTML är fortfarande olämpligt för matematisk text!)


1. Bestäm rangen hos matrisen
101+1
325+1
044-4

2. Bestäm de fyra fundamentala underrummmen (d.v.s. radrummet, kolumnrummet, nollrummet och vänstra nollrummet) hörande till matrisen i föregående uppgift.
3. Vilka (om några) av mängderna nedan är underrum till planet x+y-2z=0?
a. M1={t(1,3,2)T: t reell}
b. M2=span{(1,3,2)T, (2,2,1)T}
c. M3=span{(3,-1,1)T, (1,1,1)T}
4. Bestäm (standard) inre produkten mellan vektorerna
a. (1,1,1)T och (3,1,2)T
b. 1-x+x2+5x3 och x-x2 då x ligger i intervallet [-1,1])
c. cos(x) och sin(x) (x i intervallet [0, 2Pi])
Är några av vektorerna ortogonala?
5. Bestäm ortogonala projektionen av (1,1,1)T på span{(1,-2,1)T, (2,1,1)T}
6. Bestäm egenvärden, egenvektorer och egenrum till matrisen
+401
-210
-201

7. Kan någon av matriserna
a.
1+1
4-2
b.
3-4
1-1
diagonaliseras? Gör i så fall det!
I uppgifterna 8-10 betraktar vi differentialekvationssystem av formen dx/dt=Ax, där x är en n-dimensionell vektor och där den kvadratiska matrisen A kallas systemmatris.
8. Är systemet S med systemmatrisen
00+20
10+10
01-20
00+01
stabilt? Asymptotiskt stabilt? Instabilt? Ingendera?
9. Ett system av ordinära differentialekvationer har systemmatrisen
1+1
4-2
Bestäm lösningen med minst två olika metoder!
10. Två system av ordinära differentialekvationer har systemmatriserna
a.
3-4
1-1
respektive
b.
10+0
21-2
32+1
Bestäm med valfri(a) metod(er) systemens allmänna lösningar!
11. Lös det inhomogena system av ordinära differentialekvationer som har systemmatrisen
-2+1
+1-2
och den drivande termen (2exp(-t), 3t)T.
12. Denna uppgift består av två delar. Den första är av analytisk natur:
Beräkna medelst handräkning (d.v.s. utan att slå upp svaret i Beta!) laplacetransformerna av
a. (t+2)sin(3t)
b. exp(-t)/sqrt(t)
Den andra delen kräver grafik, och levereras därför i .ps-format på Nätet:
c. www.math.kth.se/~henrikr/polefig.ps
13. Beräkna (utan Beta!) Z-transformen av följden {n22n, n=0, 1, 2,.....}
14. Existerar det tvådimensionella normalfördelade stokastiska variabler X respektive Y med
a. väntevärde (1, -2)T och kovariansmatris
+2-1
-1+2
respektive
b. väntevärde (-1, 0)T och kovariansmatris
-2+1
+1-2
Ange i så fall deras täthetsfunktioner!
15. Hur många av problemen ovan kan du lösa med MAPLE och/eller MATLAB?




Här finns FACIT (don't cheat!)



Feedback (a.k.a. återkoppling) till

trygger@math.kth.se eller anders.blomqvist@math.kth.se

välkomnas förstås!