Allmän information om examensarbetet på studentwebben

Specifik information för ämnesvalet matematik

Vad är ett dynamiska system?

Dynamiska system används för att modellera fenomen i de flesta tillämpningsämnena. Från enkla populationsmodeller till komplexa modeller för väderprognoser. Gemensamt för många av dessa system är att de kan vara kaotiska - att små mätfel fortplantar sig exponentiellt snabbt i tiden, och därmed gör det omöjligt att förutsäga vad som kommer att hända med systemet. Intresset för dynamiska system har ökat explosionsartat de senaste 20 åren, mycket tackvare att kraftfulla datorer kan användas för att simulera hur systemet utveckas. I flera modeller har man vid datorsimuleringar upptäckt att de flesta initialvillkor leder till att lösningarna ackumulerar sig kring objekt med en intrikat geometrisk struktur, så kallade "strange attractors". I ett fåtal modeller har detta också bevisats rigoröst, mycket tackvare svenska insatser av bl a Benedicks, Carleson och Tucker.

Även tillsynes triviala system kan visa sig vara kaotiska. Ett paradexempel är den så-kallade logistiska ekvationen, vars komplicerade dynamik endast nyligen blivit (nästan) fullständigt förstådd.
Låt f(x)=ax(1-x), där a är en parameter som ligger i intervallet [0,4]. Om vi tar ett x i intervallet [0,1]
så är det lätt att verifiera att f(x) också ligger i intervallet [0,1]. Således kommer alla talen x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), . . . ligga i [0,1]. Fågan är vad som händer med denna talföljd. Det beror väldigt mycket på parametern a. För små värden är dett lätt att anlysera vad som händer, men för större värden kommer denna talföljd ofta se helt slumpmässig ut.

                                              

Vad är fraktaler

Fraktaler är geometriska objekt som i någon mening är irreguljära på alla skalor. Om man zoomar upp en bit av fraktalen finner man ofta mindre kopior av hela mängden. Ett exemple är von Kochs snöflinga där de fyra första stegen i konstruktionen finns nedan. I gränsen fås en irreguljär mängd som också är självsimilär.
                                         


Ett annat irreguljärt objekt, den så kallade Sierpinki triangeln, fås genom att upprepa följande regel (ta bort mittersta triangeln i varje steg):




När Helge von Koch introducerade sin snöflinga år 1904 betraktades denna typ av irreguljära mängder som patologiska och ointressanta att studera. I och med studiet av dynamiska system har vi nu sett att fraktala mängder naturligt dyker upp, och att det därför behövs metoder för att beskriva och analysera deras egenskaper. Teorin för fraktaler kan också användas för att enkelt beskriva i naturen förekommande mönster (via teorin för iterativa funktionssystem som vi kommer att studera):

                                  

Vårens projektarbete i analys och dynamiska system- Kaos och fraktaler

Översikt

I vårens projekt kommer vi att fokusera på grundläggande teori för dynamiska system samt introducera olika begrepp för att beskriva fraktala mänger (bl a Hausdorff-dimensionen). Inom dynamiska system kommer vi främst att betrakta en-dimensionella system (den logistiska ekvationen ovan är ett exempel på ett sådant system) och introducera metoder för att t ex avgöra om de är kaotiska eller reguljära. Vi kommer också att titta på teorin för iterativa funktionssystem som är ett verktyg som kan användas för att konstruera och beskriva fraktal mängder.

Inläsningsdel

Projektet inleds med en inläsningsdel i form av en informell studiecirkel, där deltagarna hjälps åt att lära sig den nödvändiga teorin. Där kommer vi att introducera och diskutera grundläggande begrepp inom teorin för dynamiska system och fraktalgeometri.

Projektdel

Vi återkommer med information om projektdelens utformning.

Förkunskaper

Det är bra om man har läst kursen Analysens grunder (SF2713), men det är inte nödvändigt.

Kontaktpersoner

För frågor angående inriktningen mot analys:
Kristian Bjerklöv, bjerklov@kth.se

Samordnare för ämnesområdet matematik:
Mattias Dahl, dahl@math.kth.se