Mål för studiet av Matematik 2

Allmänna mål

En del av målen är mycket generella och inte möjliga att relatera till vissa delar av kursen: Vad gäller målen för grundbegrepp, matematiskt språkbruk, matematiska resonemang, modellering och problemlösning hänvisas till de allmänna målen för kursen 5B1115 Matemaik 1.

Några viktiga nya grundbegrepp listas här nedan.

Linjär algebra

Flervariabelanalys

Specifika mål

Efter kursen skall den studerande aktivt känna till:
('aktivt känna till'= känna till, förstå och kunna tillämpa.)

LA1

• Vektorer, komponenter, belopp, basvektorer.
• Skalärprodukten a·b (med geometrisk resp. algebraisk definition).
• Projektionen a_v av en vektor a på en vektor v m.hj.a. skalärprodukt.
• Kryssprodukten a×b (med geometrisk och algebraisk definition). samt hur dennas riktning definieras av skruvregeln.
• Kryssproduktens belopp som parallellogramarea.
• Trippelprodukten a·(b×c) som determinant
  samt dennas geometriska egenskap att vara = ±(volymen av den uppspända lådan).
  
  
• Linjens och planets ekvationer.

FV1

• Geometrisk tolkning av Rⁿ - R^m-funktioner.
• Inre punkt och randpunkt.
  Öppen, sluten, kompakt mängd.
• Gränsvärden och kontinuitet för flervariabelgränsvärden.
• Partiell derivata och dess geometriska tolkning.
• Differenterbarhet som en precisering av egenskapen att ha tangentplan.
• Gradient och dennas egenskaper att utpeka maximala tillväxtriktningen och att vara vinkelrät mot nivåytor och nivåkurvor.
• Bestämning av tangent och tangentplan m.hj.a. gradient.
• Flervariabelkedjeregler, speciellt representationen av (F(x(t),y(t))' som en skalärprodukt mellan en gradient och en tangent- eller hastighetsvektor.
• Riktningsderivata som ett mått på tillväxten i en viss riktning.

LA2

• Gauss-Jordans metod att lösa linjära ekvationssystem.
• Två tolkningar av linjära ekvationssystem:

  Att finna skärningspunkter mellan plan

  Att finna en linjärkombination av givna vektorer = en given vektor.

• De tre fallen: unik lösning, ingen lösning och oändligt många lösningar samt motsvarande geometriska tolkningar.
• Homogena system (med högerleden=0) som alltid har den triviala lösningen x = 0.
• Determinanten för systemmatrisen (om denna är kvadratisk) och motsvarande villkor för en unik lösning ( determinanten skild från 0).
• Linjärt beroende och oberoende för en mängd vektorer samt relationen till determinanten för motsvarande matris med vektorerna som rader (om denna är kvadratisk).
• Matrisalgebra, speciellt matrisprodukt, samt räkneregler. (bl.a. AB normalt skild från BA).
• Enhetsmatrisen E , transponerade matrisen A^T och inversmatrisen A^-1 samt villkoret det(A)=0 som innebär att A^-1 inte existerar.
• Linjära system uttryckta som Ax=b samt lösningen x = A^-1b om A^-1 existerar.
• Några viktiga relationer:

  (AB)^T= B^TA^T

  (AB)^-1= B^-1A^-1

  det(AB)=det(A)det(B).

• Metoden att bestämma A^-1 (utökad Gauss-Jordan).
• Formeln för A^-1 i termer av cofaktorer, A:s adjunkt och det(A).
• Allmänna regeln för utveckling av determinanter längs en rad eller kolumn.
• Cramers regel för lösningar av linjära system, speciellt då systemet har parameterkoefficienter.

FV2

• Tolkningen av vektorvärda funktioner och motsvarande linjära funktioner.
• Taylorutveckling av vektorvärda funktioner till och med förstagradstermerna m.hj.a. Jacobimatriser.
• Transformering av derivatauttryck vid variabelbyten.
• Kedjeregler på matrisform för vektorvärda sammansatta funktioner.
• Invertering av de partiella derivatorna i ett varibelbyte genom invertering av en Jacobimatris.
• Villkoret för lokal existens av inverser till Rⁿ - Rⁿ-funktioner i termer av motsvarande Jacobimatris (determinanten skild från 0).
• Villkoren för lokal existens av funktioner, implicit definierade av f= c, i termer av delmatriser till f:s Jacobimatris. (determinanterna skilda från 0).

LA3

• Byten av koordinatsystem genom en linjär transformation av basvektorerna (med transformationsmatrisen C) .
• Relationen mellan en vektors koordinater i nya systemet (x_f) resp. gamla systemet ( x_e ):
  x_e = Cx_f,       x_f = C^-1x_e
• Relationen mellan en linjär transformations matris i nya systemet (A_f) resp. gamla systemet (A_e) :     A_f = C^-1A_eC.
• Ortogonala matriser ( = ON-matriser) som utför en stel vridning (det = 1) eller stel vridning + spegling (det = -1).
  Raderna (och kolumnerna) är inbördes ortogonala enhetsvektorer.
• För ON-matriser P gäller: P^-1 = P^T.
• Egenvärde k och motsvarande egenvektor v till en kvadratisk matris A:
  Av = kv.
• Bestämning av egenvärden genom lösning av karakteristiska ekvationen och av motsvarande egenvektor(er) genom lösning av ekvationssystem.
• Diagonaliseringsproblemet samt villkoret för att diagonalisering är möjlig (n st. linjärt oberoende egenvektorer.)
• Diagonalisering med ON-matriser,som är möjlig om och endast om utgångsmatrisen är symmetrisk (Spektralsatsen).
• Symmetriska matriser har reella egenvärden.
  Dessa egenvärden blir diagonalelement efter diagonaliseringen.
• Kvadratiska former och deras representation m.hj.a. symmetriska matriser.
• Diagonalisering av kvadratiska former med ON-matriser.
• Klassificeringen av andragradskurvor och andragradsytor med utgångspunkt från deras diagonaliserade versioner.
• Klassificering av kvadratiska former B(x,y) i två variabler med utgångspunkt från hur ytan z=B(x,y) ser ut nära origo (lokalt max, lokalt min eller sadelpunkt).

FV3

• Taylorutveckling av Rⁿ - R^m- funktioner.
• Differentialen till en funktion f, som med andra beteckningar, utgör Taylorutvecklingens konstanta och linjära del och kan uttryckas m.hj.a f:s Jacobimatris.
• Differentialens invarians, som är ett sätt att säga att differentialen för en sammansatt funktion f _°g kan uttryckas m.hj.a en matrisprodukt mellan f:s och g:s Jacobimatriser.
• Lokala extremvärdesproblem, som löses med hjälp av den kvadratiska formen i Taylorutvecklingens kvadrstiska del samt den klassificering av dessa som gjordes i LA3.
• Egenvärdena till kvadratiska formens symmetriska matris bestämmer den stationära punktens karaktär.
  (Båda egenvärdena >0: Lok. min.
  Båda egenvärdena < 0 : Lok. max.
  Egenvärdena har olika tecken: Sadelpunkt,
  Något egenvärde=0 : Ingen slutsats. Högre ordningens termer måste undersökas.).
• Totala extremvärdesproblem , där största och minsta funktionsvärdena sökes.
  Områdets rand måste då undersökas.
• Lagranges multiplikatormetod för extremvärdesproblem med bivillkor, med vilken man bl.a kan finna max. och min. på randkurvor och randytor.
• Matrisnormen till matrisen A, ||A|| , som är ett svar på problemet att avgöra maxvärdet för |Ax| då x har längden 1.
  Kan lösas med Lagranges metod eller algebraiskt i termer av egenvärdena till den symmetriska matrisen A^TA.
• Minstakvadratmetoden som löser problemet att finna bästa approximativa lösningen till ett överbestämt linjärt ekvationssystem . Kriteriet för bästa lösning är att kvadratsumman av avvikelserna i varje ekvation skall minimeras.
  Kan lösas algebraiskt med normalekvationerna eller analytiskt som ett minimeringsproblem.