PROJ..html

Maplesession4-TAY-Matematik 1

Följande session visar en Maple-hantering av det störningsproblem som

förekommer i OH5.6.

Del1. Direkt beräkning.

Vi definierar först den störda ekvationen (**):

> restart;

> F:=x^2 + (3+eps)*x - 4;

Vi löser först ekvationen med avseende på x (eps betraktas som en parameter):

> s:=solve(F=0,x);

Man ser att det är första lösningen, s[1], som ger roten x=1 då eps=0.
Vi kallar den lösningen för L:

> L:=s[1];

MacLaurin-utveckling till och med 2:a-gradstermen sker med kommandot 'taylor(L,eps=0,3);'

där 'eps=0' anger vilket eps-värde man utvecklar omkring (MacLaurin: omkring eps=0)

och sista parametern '3' ger utveckling till och med 2:a-gradstermen

> ML:=taylor(L,eps=0,3);

Del 2. Implicit derivering.

Vi låter här Maple bestämma x'(eps) och x''(eps) med implicit derivering.

Kommandot 'implicitdiff' används här. (Se den korta Maple-handledningen),

Derivatornas värden för eps=0 bestäms med kommandot 'eval'.

Först x'(eps). Ekvationen F=0 deriveras implicit med avseende på eps

och x betraktas som en funktion av eps. Vi kallar x' för xp:

> xp:=implicitdiff(F=0,x,eps);

Maple deriverar implicit och löser sedan ut x'(eps) ur den ekvation som då erhålles.

Vi bestämmer x'(0) genom att sätta in eps=0 och x=x(0)=1 i x'(eps) dvs xp:

> xp0:=eval(xp,[eps=0,x=1]);

Observera hakparenteserna omkring 'eps=0, x=1'.

Dessa behövs när fler än ett värde sätts in samtidigt.

Andraderivatan x''(eps) erhålles på samma sätt direkt ur ekvationen F=0

genom derivering två gånger med avseende på eps:

> xpp:=implicitdiff(F=0,x,eps,eps);

[Maple Math]

Nu får vi igen sätta eps=0 och x=1.

Observera att Maple redan har satt in x'(eps) i termer av eps och x.

> xpp0:=eval(xpp,[eps=0,x=1]);

Detta är alltså det värde på x''(0) som sätts in i den sökta MacLaurinutvecklingen:

> ML1:=1 + xp0*eps + (xpp0/2)*eps^2 + R2;

Alltså samma som i Del 1 men med en mer generell metod, som

inte bygger på att ekvationen F=0 går att lösa exakt med avseende på

x i termer av eps.