OH2.5 - EKVATIONSLÖSNING
|
De två ekvationerna till vänster illustrerar två fall då det är nödvändigt att pröva de erhållna rötterna i den ursprungliga ekvationen. Ofta leder nämligen normala räkningar till att nya (falska) rötter introduceras i ekvationen. Detta inträffar ofta i samband med logaritmer och kvadratrötter.
Vi tittar närmare på Ex 1:
Här introduceras den nya roten vid övergången från (*1) till (*2)
då ju bägge leden kvadreras.
Prövningen visar att x=3 ger vänsterledet= 3 och högerledet = -3,
en skillnad som försvinner vid kvadreringen.
Prövning är alltså nödvändig vilket egentligen beror på att
bägge leden transformerats med en ickemonoton funktion (här f(x) = x2 ).
Ex 2: Ln-funktionen har definitionsmängden {x: x>0}.
Vid ekvationslösning med logaritmer inblandade kan falska rötter introduceras genom att de ingående funktionernas definitionsmängder förändras under ekvationslösningen.
Här ser man att ekvation (**1) är definierad endast för x>0 (pga ln x i högerledet),
(**2) är definierad för x skilt från 0, medan
(**3) är definierad för alla x.
Denna effekt gör att alla erhållna rötter måste prövas, vilket här leder till att roten
x = -4 måste slopas eftersom ln(-4) inte är definierad.