OH2.7 - ARCUSFUNKTIONER
|
Översta figuren till vänster visar problemet med att definiera inversfunktioner till de cyklometriska funktionerna (arcusfunktionerna). Den avbildade grafen representerar sambandet x = sin y,
som därmed också skulle kunna representera inversen arcsin till sinusfunktionen. Men eftersom sin x inte är monoton får inte grafen x = sin y funktionsegenskapen, dvs grafen uppfyller inte att det till ett x-värde finns högst ett y-värde.
För att inversen arcsin verkligen skall bli en funktion används därför
bara den del av kurvan x = sin y som ligger mellan y = -pi/2 och y = pi/2,
som rektangeln indikerar.
Andra figuren visar funktionerna y = tan x, y = arctan x och y = x i samma koordinatsystem.
Här visas hur graferna för en funktion (tan) och dess invers (arctan) är varandras spegelbilder omkring speglingslinjen y=x.
Detta följer av den allmänna relationen mellan en funktion f och inversen f-1:
y = f(x) <=> x = f-1(y)
som ju visar att om punkten (x,y) ligger på f:s graf så ligger (y,x) på f-1:s graf.
Underst visas en större bit av arctan-grafen.