Som begynnelsepunkt används (x0,y0)=(0,-2).

Det följande är utformat som en Maplesession.
Du uppmanas i del 2 att själv undersöka de fem övriga angivna fallen med hjälp av liknande Maplesessioner.

1. Vi börjar med restart-kommandot:

> restart;

Följande paket behöver laddas ner:

> with(plots):with(DEtools):

Här anges parametervärdena för a och b i systemet, samt

begynnelsevärdena för en sökt lösning, x0=x(0) och y0=y(0).

> a:=-3;b:=-1;
x0:=0;y0:=-2;

Systemet skrivs formellt som en mängd ({}-parenteser ytterst) .

Derivatorna x' och y' anges med diff-operationen, där deriveringsvariabeln t måste synas.

> sys1:={diff(x(t),t)= 2*x(t)+y(t),diff(y(t),t)=a*x(t)+b*y(t)} ;

2. I nästa steg anges riktningsfältet, dvs det vektorfält som systemets högerled bildar.
Eftersom systemet är autonomt (inga explicita t förekommer) är detta vektorfält
oberoende av tiden. (För ett ickeautonomt system får man ett riktningsfält som rör sig).

Man använder kommandot DEplot och matar in bl.a. namnet på systemet (sys1) och intervallen i
x- och y-led .

> dirfield:=DEplot(sys1,{x(t),y(t)},t=0..5 ,x=-20..30,y=-20..30,
scene=[x,y],dirgrid=[25,25],scaling=constrained):
dirfield;

3. För att få grafen för lösningskurvan behöver vi ange begynnelsevärdena, dvs begynnelsepunkten,
som en lista ([ ]-parenteser ytterst) som vi här kallar IC1.
Lösningskurvan inlagd i riktningsfältet
fås med kommandot DEplot, där listan IC1 samt steglängden är iangivna.
Slutligen visas lösningskurvan och riktningsfältet genom displaykommandot.

> IC1:=[[x(0)=x0,y(0)=y0]];

> sol1:=DEplot(sys1,{x(t),y(t)},t=0..25,x=-20..30,y=-20..30,IC1,
scene=[x,y],stepsize=0.01,arrows=NONE):

> display([dirfield,sol1]);

En lösningskurva bör vara en kurva som utgår från den punkt som anges av begynnelsevärdena,
(x0,y0), och vars tangentvektor i varje punkt överensstämmer med riktningen hos riktningsfältet
i punkten.
Kontrollera att detta stämmer!

Som synes avlägsnar sig kurvan utåt från startpunkten (0,-2).
Att den bildar en instabil spiral skulle man ha sett tydligare om startpunkten legat närmare origo.

Ett annat sätt att konstatera att det är en instabil spiral är att lösa systemet analytiskt.
Se nedan.

4. Om man vill ha en explicit analytisk lösning användes dsolve-kommandot.
Observera att man här lägger in begynnelsevärdena i en mängd IC2,
som i kommandot bildar en mängdunion med systemmängden.

> IC2:={x(0)=x0,y(0)=y0};
ss:=dsolve(sys1 union IC2,{x(t),y(t)});

Att lösningskurvan här blev en instabil spiral visar sig bero på att lösningarna innehåller
exponentialfunktioner med positiva faktorer (här 1/2) framför t.

SYSTEM AV DIFFERENTIALEKVATIONER 2.

Genomför själv liknande Maplesessioner, med nedanstående värden på parametrarna
a och b:

I.    a=1, b=1.

II.   a=-3, b=-1. (=sessionen i del 1. Försök få fram en tydligare spiral än i avsnitt 1
                                   genom att välja startpunkten närmare origo.)

III.  a-5, b=-2.

IV.  a=-7, b=-3.

V.    a=-11, b=-5.

VI.  a=0, b=-2.

Parametervärdena är valda så att man genomlöper samtliga sex olika typer av beteende nära den kritiska punkten (0,0).
När du kört en session med de första parametervärdena är det naturligtvis enklast att gå tillbaks och ändra parametervärdena och därefter exekvera de olika exekveringsgrupperna på nytt.
Placera pekaren inom en exekveringsgrupp (del av sessionen som hålls samman av hakparentesen vänsterkanten i Maple, syns inte här.) Tryck på return för att exekvera.
För att underlätta Maplekörningarna finns här en maplefil med denna session. Om inte din webbläsare öppnar Maple kan du ladda ner filen via högerklick och 'save link as' på de flesta plattformar.
Avsnitt 2 i del 1 ovan med enbart riktningsfält kan hoppas över. Dock måste du definiera dirfield som i sessionen ovan.

I del 3 kan man studera en sammanställning av utfallen i de sex fallen.