KTHs

Sommarmatematik   2002
Avsnitt 1 Avsnitt 2 Avsnitt 3 Avsnitt 4 Avsnitt 5 Avsnitt 6
KTH-logo
  AVSNITT 2: print Introduktion | Skärmtest | Exempel | SfS-exempel | Översikt | Övningar | Sluttest | Hjälp

Introduktion

Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip kan faktoriseras i första- och/eller andragradspolynom år det naturligt att starta med en grundlig undersökning av andragradspolynomen. Kvadratkomplettering är en viktig metod för att studera sådana polynom.
Ex: x2 +2ax + 3b = (x+a)2 -a2 + 3b, .
En kvadratkomplettering ger information om polynomets nollställen och om var maxvärdet eller minvärdet ligger. Man får också indirekt formeln för lösningarna till en andragradsekvation ur kvadratkompletteringen, som kan vara bra att komma ihåg:

formeln för lösningarna till en andragradsekvation ger rötterna till ekvationen x2 + px + q = 0.

Utöver detta genomgås polynomdivision, som finns i ett antal olika metoder. Här visas en variant av 'liggande stolen' samt en direktversion för inte allt för omfattande divisioner.

En typisk tillämning av polynomdivision är då man har en tredjegradsekvation P(x) = 0 och finner genom insättning att x=2 är en av rötterna.
Man vet då att (x-2) är en faktor i P(x), dvs P(x)=(x-2)Q(x), där Q(x) måste vara ett andragradspolynom. Genom divisionen kan nu Q(x) råknas ut som P(x)/(x-2).
Slutligen löser man andragradsekvationen Q(x) = 0 och lösningen är fullständig.

Målsättning:

Efter studium av Avsnitt 2 skall du kunna:
  • kvadratkomplettera ett andragradspolynom och dra slutsatser angående polynomets nollställen.

  • utföra polynomdivision med någon metod.

  • tillämpa polynomdivision för att lösa högre ordningens ekvationer då någon rot är känd.




Avdelning Matematik Sidansvarig: webmaster