Lunds Universitet
Matematiska Institutionen

Analytiska Funktioner, Muntafrågor, ht 01

1: Förklara begreppet komplex deriverbarhet och relatera detta till Cauchy-Riemanns ekvationer.

2: Vad är en holomorf funktion?

3: Vad är en analytisk funktion?

4: Hur visas att en analytisk funktion är holomorf, och att en holomorf funktion är analytisk? Vilket av dessa påståenden är djupast? Skissera beviset.

5: Hur definieras kurvintegraler i planet?

6: Hur visas att kurvintegralen av en holomorf funktion längs en sluten kurva är noll? Redogör noggrant för förutsättningarna.

7: En holomorf funktion har en primitiv funktion, åtminstone lokalt. Hur går detta till, och vad kan bli fel om vi inte jobbar lokalt? Är den primitiva funktionen också holomorf?

8: Redogör för beviset av Cauchys integralformel. Beskriv några av de viktigaste konsekvenserna av denna.

9: Formulera och bevisa Liouvilles sats.

10: Hur kan man använda teorin för analytiska funktioner för att bevisa algebrans fundamentalsats, vilken säger att varje polynom kan faktoriseras med hjälp av sina (komplexa) rötter med faktorer som är förstagradspolynom.

11: Vad vet du om konvergensområdet för Taylorutvecklingen av en analytisk funktion? Hur stor är konvergensradien relativt området där funktionen är analytisk?

12: Beskriv Laurentserieutvecklingar och jämför dessa med Taylorutvecklingar. Vad är det som ger de två radierna (inre och yttre)?

13: Visa att en holomorf funktion i en punkterad skiva runt en punkt som är begränsad nära punkten har en hävbar singularitet, dvs att vi kan omdefiniera funktionen så att den blir holomorf i en omgivning av punkten (utan punktering!).