Litteratur: Serge Lang: Complex Analysis (second edition), GTM 103, Springer-Verlag, 1985.
Kursbeskrivning: Analytiska funktioner uppstår när vi betraktar potensserier av en reell variabel (med komplexa koeffienter) och sedan ersätter den reella variabeln med en komplex. Man kan även beskriva dem i termer av s k komplex deriverbarhet. Men det mest naturliga är förmodligen att se dem som lösningar till en differentialekvation, Cauchy-Riemanns ekvation. Betraktar man real och imaginärdelar separat, erhåller vi ett system av ekvationer istället, vilket kallas Cauchy-Riemanns ekvationer. Ett av huvudresultaten i teorin är just att dessa beskrivningar (potensserier, komplex deriverbarhet, Cauchy-Riemanns ekvation) är ekvivalenta. Som en omedelbar följd finner vi att analytiska funktioner är glatta, i den meningen att de har (partiella) derivator av alla ordningar. Metoden att erhålla ekvivalensen går vi kurvintegraler, och speciellt Cauchys formel för representation av en analytisk funktion. En analytisk funktion har en derivata som också är en analytisk funktion. Den har en primitiv funktion likaså, åtminstone lokalt. Här kommer topologiska egenskaper hos området den analytiska funktionen är definierad på in i bilden. Så om området är enkelt sammanhängande (dvs saknar hål) finns en primitiv funktion på hela området. Analytiska funktioner satisfierar en maximumprincip: beloppet antar sitt maximala värde på randen. Vi betraktar hela funktioner, dvs funktioner som är analytiska i hela planet. Dessa måste växa mot oändligheten, ty Liouvilles sats säger att en begränsad hel funktion måste vara konstant. Detta resultat kan tolkas som omöjligheten att rita upp en "bra" karta över jordklotet med begränsad utsträckning. Vi tar också upp residu-kalkyl, vilket utgör ett praktiskt sätt att beräkna vissa definita integraler utan att ta fram den primitiva funktionen.
Program 6.9-27.9