Läsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed.
Del 1 (funktioner av en variabel).
Omfattning:
Kapitel: |
1.1-1.4 2 3.1, 3.3-3.4, 3.5 till Def. 13, 3.7 17.8 t.o.m. sid 1019 4.2, 4.3 (endast Theorem 6), 4.4 t.o.m. s. 250, 4.5, 4.7-4.9 |
5 6.1, 6.2 t.o.m. s. 357, 6.3, 6.5 7.1-7.3 9.1-9.2, 9.3 t.o.m. s. 541, 9.4 t.o.m. s. 548, 9.5 t.o.m. s. 555 samt Th. 19, 9.8 t.o.m. Ex. 2. |
Kap. P.
Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet
beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts.
Kap. 1. Kontinuitet och gränsvärden. 1.1 Detta avsnitt är av orienterande och motiverande karaktär. Läs Ex 1-3. 1.2-1.3
Gränsvärdesbegreppet är fundamental i kursen. Du
bör förstå den formella definitionen (s. 86 och
framåt), i ljuset av den informella på s. 61. Den
idé som ligger bakom är inte svår. 1.4
Då man infört gränsvärden är kontinuitet
nästa steg. Att en funktion är kontinuerlig betyder att den
har gränsvärden övwerallt och att dessa sammanfaller
med funktionsvärdena. Definition 5, 6, 7, 8 och Sats 5, s.
76-77. 1.5 Frivillig läsning för den som vill veta mer om gränsvärden och kontinuitet. (Se också Appendix III.)
Kap. 2. Derivation. 2.1
I detta avsnitt förbereds derivatans införande genom en
diskution av lutning (slope) och tangentlinjer till kurvor y
= f(x). Det mesta bör vara bekant från gymnasiet, men,
notera formeln för normalens lutning, s. 99. 2.2
Definition av derivatan, s. 101. Du bör i enkla exempel kunna
beräkna derivator utgående från definitionen. 2.3
Sats 1, s. 110, säger att deriverbarheten medför kontinuitet. 2.4
Kedjeregeln, Sats 6, s. 119, är en hörnsten i
differentalkalkylen. Den är lätt att komma ihåg med
Leibniz´ beteckningar (mitt på sidan). 2.5
Med hjälp av gränsvärdet i Sats 8, s. 124, och en
trigonometrisk identitet (Ex. 1), kan man härleda derivatan till
sinusfunktionen. Trigonometriska formler ger, tillsammans med
deriveringsreglerna, uttryck för derivatorna till cosinus-,
tangens- och cotangensfunktionerna, som man också skall
kunna. 2.6
Medelvärdessatsen (Sats 11, s. 131) är mycket viktig.
Satsens geometriska betydelse framgår av figur 2.25 (s. 131).
Figur 2.26 på samma sida visar att man inte kan ändra
på någon av satsens förutsättningar. 2.7 Det kan vara bra att skumma igenom detta avsnitt för att bekanta sig med några tillämpningar av derivatan. 2.8 Högre ordningens derivator införs på naturligt sätt. Tolkning och tillämpningar följer i senare avsnitt. 2.9 Exemplen 1-6 illustrerar hur man bestämer derivatan till en funktion y = f(x) då funtionen ges av ekvationen F(x,y) = 0. 2.10
Antiderivata (primitiv funktion), def. 7, och obestämd integral,
def. 8. Differentialekvationer och begynnelsevärdesproblem, s.
157. 2.11 Hastighet, fart och acceleration. Läs exemplen 1, 3, 5.
Kap. 3. Transcendenta funktioner. 3.1
Inverterbara (one-to-one) funktioner, def. 1. Invers funktion, def.
2, och dess egenskaper, s. 175. Figurerna 3.3-3.5 visar hur man
får fram inversen genom att spegla funktionen i linjen y
= x. Inversens derivata, mitt på s. 177 och förklarande
figur 3.6. 3.2 Ingår i inledande kurs. Repetera gärna avsnittet. 3.3
Här införs funktionen ln x som area av ett
område mellan kurvan y = 1/x och x-axeln. Man visar
(Sats 1) att ln x är den primitiva funktionen till
1/x som antar värdet 0 för x = 1.
Från denna sats följer sedan logaritmlagarna (Sats 2)
direkt. Exponentialfunktionen införs som invers till ln
x och exponentiallagarna (Sats 3) följer av
logaritmlagarna. Man definierar talet e genom e = exp 1
och visar att exp x = ex. Sambandet (def. 7, s. 189)
är viktig. Någon gång kan du ha användning av
logaritmisk derivering. 3.4
Exponentiell och logaritmisk tillväxt: Sats 5, och dess
sammanfattning i rutan på s. 194. Funktionen
ex som gränsvärde (Sats 6, s.
198). 3.5
Sinus och andra trigonometriska funktioner är periodiska och
därmed inte inverterbara: alla värden antas ju
oändligt många gånger. Genom att betrakta dem
på lämpliga delintervall, kan man invertera. På
så sätt får man arcusfunktionerna (def. 9, 11 och 12
samt fig. 3.18, 3.22 och 3.25(a)). Derivator av arcusfunktioner (s.
203, 206 och 208). Avsnittet bör läsas med ordentlig
eftertanke. (Inverser till sekantfunktionerna, s. 208-209 ingår
inte.) 3.7
Alternativt kan du läsa avsnitt 17.7. Karakteristiska ekvationen
(**), s. 216. Beroende av hur de karakteristiska rötterna ser
ut, uppstår tre fall (s. 216-217). De kan beskrivas som (I)
skilda reella rötter, (II) sammanfallande reella rötter,
samt (III) icke-reella rötter.
Kap. 17. Ordinära differentialekvationer. 17.7
Deta avsnitt är en kopia av avsnitt 3.7. Karakteristiska
ekvationen (**), s. 1008. Beroende av hur de karakteristiska
rötterna ser ut, uppstår tre fall (s. 1008-1009). De kan
beskrivas som (I) skilda reella rötter, (II) sammanfallande
reella rötter, samt (III) icke-reella rötter. 17.8
Den allmänna lösningen till en inhomogen ekvation är
yh + yp, där
yp är en godtycklig (vilken som helst)
partikulärlösning, och där yh
är den allmänna lösningen till motsvarande homogena
ekvation. Ansats för partikulära lösningar (i enkla
fall) ges i rutan på s. 1018. Resonans på s. 1019.
(Variation av parametrar, s. 1020-1021 ingår inte.)
Kap. 4. Tillämpningar av derivator. 4.1 Ingår inte. Det kan ändå vara bra att skumma igenom detta avsnitt för att bekanta sig med andragradskurvor. 4.2
Extremvärden: def. 1 (globala), def. 2 (lokala). Kritiska
punkter, singulära punkter. Sats 1, s. 234 är max/min
satsen från kap. 1 (s. 80). Sats 2 (s. 235) och Sats 3 (s. 236)
är mycket viktiga. De ger en metod för att finna
största och minsta värden till en kontinuerlig funktion
på ett slutet och begränsat intervall. 4.3
I detta avsnitt ingår bara andraderivatatestet, Sats 6, s. 244. 4.4 Endast asymptotbegrepet, def. 5-7. Läs exempel 1-4. 4.5
I avsnittet behandlas "ostrukturerade" max/min-problem. Man
måste själv formulera problemen matematiskt. 4.7 Formeln för linjär approximation (dvs. approximation av en funktionsgraf med dess tangentlinje) kan skrivas f(x) = f(a) + f´(a)(x - a) + E(x) = P1 + E1(x), där E1(x)= f´´(X)(x - a)2/2 där E1 betecknar resttermen (felet) vid
approximationen (av ordning 1). 4.8
Taylors formel, Sats 10, s. 282, är en generalisering av
linjär approximation. Denna gång approximerar man f med
ett polynom Pn av högre grad n. Detta polynom är
valt så, att dess och dess derivators värden upp till
ordning n sammanfaller med f:s, i den givna punkten. Vi kan skriva
detta f(x) = Pn(x) + En(x), där
approximationen Pn(x) och felet En(x) är
givna i satsen. 4.9
l'Hôpitals regel (Sats 12, s. 290 och Sats 13, s. 292) är
det viktigaste verktyget för beräkning av
gränsvärden.
Kap. 5. Integration. 5.1-5.2
Här diskuteras areabegreppet och beräkning av areor genom
gränsövergång. Man bör genomföra
någon sådan beräkning för att till fullo
uppskatta effektiviteten i den metod vi senare beräknar
integraler med. 5.3 Bestämda integraler införs genom
över- och undersummor. Idén är att då
indelningen blir finare skall, för "integrerbara"
(def. 3) funktioner, dess över- och undersummor båda ha
samma gränsvärde, integralen av funktionen. Sats 2, s. 316,
visar att denna procedur fungerar för kontinuerliga
funktioner. 5.4
Här härleds diverse egenskaper till den bestämda
integralen (Sats 3, s. 317-318). Integralkalkylens
medelvärdessats (Sats 4, s. 320) kommer in i den oumbärliga
Integralkalkylens fundamentalsats i nästa avsnitt. 5.5
Sats 5, Integralens fundamentalsats, är vad gör integralen
till ett användbart verktyg, genom kopplingen till
differentialkalkylen. Satsen visar att varje kontinuerlig funktion
har en primitiv funktion. 5.6
Variabelsubstitution i integraler, Sats 6, s. 322, innebär att
man använder kedjeregeln baklänges. Det är en viktig
metod. 5.7 Beräkning av area mellan två kurvor.
Man måste först bestämma kurvornas
skärningspunkter och sedan kontrollera vilken av funktionerna
som är störst i resp delintervall. Därefter
beräknas integralen på vanligt sätt.
Kap. 6. Beräkning av integraler. 6.1
Formeln för partiell integration (ruta på s. 345) är
viktig. Den följer av produktregeln för derivator. 6.2 t.o.m. s. 357. Läs exempel 1-6. 6.3
Det grundläggande exemplet i detta avsnitt är då
nämnaren har skilda och enkla nollställen, som i rutan
på s. 362. Detta behandlas i ex. 3-4. 6.5
I detta avsnitt behandlas "generaliserade" integraler. Det
är två olika saker man måste tänka på.
Dels kan integrationsintervallet vara oändligt, dels kan
integranden vara obegränsad i närheten av någon
punkt. Man måste då beräkna integralen som ett
gränsvärde, se exempel 1, 2, 3, 5, 6.
Kap. 7. Tillämpningar av integraler. 7.1
Fig. 7.2-7.4 ger en föreställning om varför, rent
allmänt, volym är integralen av area (formeln på
övre halvan av s. 408). Formeln längst ned på s. 408
behandlar rotation kring x-axeln. Cylindriska skal, s. 411, bygger
på en annan idé. Fig. 7.9 visar varför formeln
på s. 412 gäller. 7.2
Här behandlas andra volymsberäkningar, där metoden
är att dela upp kroppen i "tunna skivor", vars area
man kan bestämma, varefter man "summerar" dessa, dvs.
integrerar arean. 7.3
Båg- eller kurvlängd: formlerna mitt på s. 422.
Figur 7.22 förklarar mekanismen.
Kap. 9. Talföljder, serier och potensserier. 9.1 Konvergens av talföljder (sequences), def. 1. Läs exempel 5-6. 9.2
Konvergens av en (oädlig) serie betyder att följden av dess
partialsummor sn konvergerar (def. 3). 9.3
Positiva serier. Detta är det centrala avsnittet i kapitlet. Det
är viktig att förstå att för positiva serier
finns bara två möjligheter: seriens summa är
ändlig (dvs serien är konvergent) eller oändlig (dvs
serien är divergent). 9.4 Absolutkonvergens, def. 5, Sats 13, s. 544, är viktig. Betingat (conditional) konvergens, def. 6, Ex. 1, s. 547. Resten av avsnittet ingår inte. 9.5
(t.o.m. s. 555, samt Th. 19) I samband med Taylors formel såg
vi exempel på potensserier. Här dyker den geometriska
serien upp igen. Sats 17, s. 554, skall man känna till. Där
ingår det viktiga begreppet konvergensradie. Den kan
beräknas enligt formeln i rutan på s. 555. 9.8 T.o.m. exempel 2. |