Institutionen för Matematik, KTH
Olle S.

Elementär differentialgeometri (fördjupningskurs) vt 2001.

Kursansvarig: Olle Stormark, olles@math.kth.se

Kurslitteratur: M. Spivak: A Comprehensive Introduction to DIFFERENTIAL GEOMETRY , volume 1 and 2, Publish or Perish--som kan köpas i Swedish Library House, Odengatan 91.

Detta fascinerande verk omfattar egentligen fem volymer, varav vi alltså nöjer oss med de två första. Men även så blir det väl mycket för denna inledande kurs på 36 timmar. Exakt hur mycket vi hinner med beror i viss mån på deltagarnas önskemål och ambitionsnivå.

Preliminärt schema: Fredagar 13-15 i seminarierum 3733, KTH, Lindstedtsvägen 25, under veckorna 3-8, 11-14 och 18-20, samt onsdagar 13-15 under veckorna 13-14 och 18-20 i seminarierum 3721, samma adress. Så kursen börjar alltså den 19:e januari.

I differentialgeometrien studerar man mångfalder försedda med geometriska strukturer . Urexemplet är det euklidiska rummet

$E^{n}= \mathbb {R} ^{n}$ försett med sin vanliga inre produkt.

Till skillnad mot $\mathbb {R} ^{n}$ har en n-dimensionell mångfald M inget kanoniskt globalt koordinatsystem--däremot finns det en förskräcklig massa lokala koordinatsystem, med vars hjälp man förklarar vad som menas med $C^{\infty}$ funktioner på M. Sedan definieras vektorfält som derivationer av de $C^{\infty}$ funktionerna, varpå 1-former fås genom dualitet, och så vidare. Allt detta gör att man kan bedriva differential- och integralkalkyl på M ungefär som på $\mathbb {R} ^{n}$.

Frånvaron av kanoniska koordinater gör det nödvändigt att använda ett koordinatfritt betraktelsesätt, vilket känns ovant till en början. Men observera att det finns inget kanoniskt koordinatsystem i Naturen heller (även om vem som helst självfallet har fria händer att införa egna koordinater), så naturlagarna måste kunna formuleras koordinatfritt.

Dessutom visar det sig snart att många satser blir mycket mera lättbegripliga om man avstår från att använda koordinater--jämför till exempel den allmänna Stokessatsen med dess olika gräsliga koordinatvarianter!

Spivaks volym 1 behandlar teorien för allmänna må ngfalder--det vill säga innan man infört någon speciell geometrisk struktur. Till det som inte kommer att hinnas med är den algebraiska topologien i kapitel 11 och de Rham cohomolgien i kapitel 8. Vidare är det tyvärr omöjligt att inom ramen för denna korta kurs behandla Liegruppsteorien i kapitel 10 på ett adekvat sätt--den förtjänar ett mycket bättre öde.

Den vanligaste geometriska strukturen i litteraturen är den Riemannska metriken , som för varje punkt $p \in M$definierar en inre produkt i tangentrummet T_pM. Den behandlas i Spivaks volym 2; närmare bestämt tittar han på

• kurvor och ytor i det euklidiska rummet E³ (med den vanliga inre produkten),
• n-dimensionella Riemannska mångfalder, och speciellt frå gan om vilka av dessa som är ekvivalenta med Eⁿ (det så kallade testfallet).

Det unika med Spivaks bok är att han startar från pionjärerna Gauss och Riemann, och förklarar deras häpnadsväckande insikter. Så det är en ren oförskämdhet att hoppa över detta historiska perspektiv, men det blir vi tvungna att göra i alla fall. Men, snälla, läs själva och njut!

Eftersom Spivak behandlar sina problem ur väldigt många olika perspektiv kan det vara svårt att urskilja någon röd tråd i det hela. Men det visar sig att en metod fungerar ypperligt så väl för kurvor och ytor som för testfallet, nämligen Cartans teori för ''moving frames'', så vi koncentrerar oss i första hand på denna metod.

Höjdpunkten i volym 2 utgörs av sista kapitlet som behandlar Ehresmannförbindelser i principalbuntar (och förutsätter Liegruppsteori). Men dels är detta väl avancerat för en kurs i elementär differentialgeometri, och dels lutar man numera (30 år efter det att Spivak skrev sin bok) åt att det trots allt är Cartans ursprungliga teori för förbindelser som är mest fundamental (se till exempel R.W. Sharpe: Differential Geometry. Cartan's generalization of Klein's Erlangen Program. , Springer GTM 166, 1977). Så vi hoppar över detta också.

Men allt det andra ska vi försöka hinna med!

Examinationen består av inlämningsuppgifter--dock krävs någon form av muntlig redovisning för dem som vill ha högsta betyg (fem för teknologer, väl godkänt för universitetsdoktorander).