Institutionen för Matematik, KTH
Olle S.


5B 1116 Matematik II för IT, vt 2001.


I Matematik I studerade vi olika egenskaper hos funktioner av en variabel : y=f(x), såsom kontinuitet, deriverbarhet, maxima och minima, Taylorserier och så vidare.

I Matematik II fortsätter vi med att titta på integraler av sådana funktioner:

\begin{displaymath} \int_{a}^{b}f(x)\, dx.\end{displaymath}

Därefter övergår vi till funktioner av flera variabler : $y=f(x_{1},\dots ,x_{n})$ och lär oss vad kontinuitet, deriverbarhet, maxima och minima samt Taylorutvecklingar betyder för sådana funktioner--och finner till vår lättnad att denna teori är en rättfram generalisering av envariabelsteorien. Det vill säga: har man förstått den senare ordentligt, så bjuder inte flervariabelsteorien på några större problem.

Vi ska även titta på avbildningar där vi inte bara har flera oberoende variabler $x_{1},\dots ,x_{n}$, utan även flera beroende variabler $y_{1},\dots ,y_{m}$. Dock inskränker vi oss i detta fall till att enbart studera lineära funktioner. Dessa kan skrivas på följande sätt:

\begin{displaymath} \begin{cases} y_{1}&=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x... ...\ y_{m}&=a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}\end{cases}\end{displaymath}

där aij är givna tal. Eller kortare:

\begin{displaymath} \boldsymbol{y}=A\boldsymbol{x},\end{displaymath}

där

\begin{displaymath} \boldsymbol{y}=\begin{pmatrix} y_{1} \ \vdots \ y_{m} ... ... x_{n} \end{pmatrix}\quad \text{ \uml {a}r \emph{vektorer}, }\end{displaymath}

medan

\begin{displaymath} A=\begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \ \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}\end{displaymath}

är en $m\times n$-matris . Så vi behöver alltså förstå vektorer och matriser.

Observera att om A och $\boldsymbol{y}$ är givna medan $\boldsymbol{x}$ söks, så betyder $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$ ett lineärt ekvationssystem . I fallet m=n kan det hända att A har en invers A-1, och i så fall fås den unika lösningen $\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{y}$. Villkoret för att en $n\times n$-matris har en invers är att dess så kallade determinant är skild från noll--så vi måste lära oss ett antal regler om determinanter också.


Kurslitteratur:


Observera att kursen definieras av ovanstående! Det vill säga: det är precis detta stoff som undervisningen ska förklara, och det är detta och ingenting annat som kommer på tentamensskrivningen. Så kursens svårighetsgrad är fastlagd av kurslitteraturen--och tentorna följer efter och lägger sig på samma nivå.


Kursansvarig och föreläsare: Olle Stormark;    olles@math.kth.se


Lektionsledare:

Den ordinarie tentan går den 17:e april klockan 8-13. Sedan följer omtentor i augusti och januari.


Två lappskrivningar ges under kursens gång--nämligen under första timmen av lektionerna 3 respektive 6. Var och en av dessa ger maximalt två bonuspoäng.


Här följer en preliminär plan över undervisningen. De rekommenderade tal som ej hinns med i undervisningen bör man göra själv . För har man förstått alla dessa tal så är det väldigt svårt att inte klara tentan .


Föreläsning 1.
Avsnitten 7.1, 7.2 och 7.3.1 i AmI : integraler och primitiva funktioner. Rekommenderade tal i ÖI : 601 aceiknpt.
Föreläsning 2.
Avsnitten 7.3.2 och 7.3.3 A,B i AmI : integrationstekniker. Rekommenderade tal i ÖI : 602 acgiln, 603 ace, 604 abcdj och 607 abg.
Föreläsning 3.
Avsnitten 7.3.4 och 8.1-2 i AmI : generaliserade integraler, plana kurvor och ytberäkningar. Rekommenderade tal i AmI : 7.22ad och 7.24; i ÖI : 628ae, 701f, 702 och 712.
Föreläsning 4.
Avsnitten 1.1-1.10 i Ela : vektorer, skalärprodukten samt räta linjer och plan. Rekommenderade tal i Ela : 112, 134, 144, 145, 147, 150, 154 och 156.
Föreläsning 5.
Avsnitten 1.11-1.14 i Ela : kryssprodukten, determinanten, lådprodukten och avstå ndsberäkning. Rekommenderade tal i Ela : 163, 167bg, 168b, 171, 176b, 177b och 179b.
Föreläsning 6.
Kapitlen 1, 2 och 3 i AmII utom vektorvärda funktioner och matriser (vilka uppträder i föreläsning 11 istället): funktioner av flera variabler, gränsvärden och kontinuitet. Rekommenderade tal i AmII : 1.1ab, 1.2ab, 1.4a, 2.2, 2.3, 3.3abc och 3.4ab.
Föreläsning 7.
Avsnitten 4.1-4.5 i AmII : partiella derivator. Rekommenderade tal i AmII : 4.4abcd, 4.6ab, 4.7a, 4.10ab och 4.13ab.
Föreläsning 8.
Avsnitten 4.6.1, 6.1, 6.3 och 6.4 i AmII : riktningsderivatan, kurvor och ytor. Rekommenderade tal i AmII : 4.10ab, 4.13ab, 4.14ab, 4.15, 6.1ac, 6.11ab och 6.12a.
Föreläsning 9.
Kapitel 2 samt avsnitten 3.1-4 i Ela : matriser och determinanter. Rekommenderade tal i Ela : 214bd, 217b, 218b, 221c, 227a, 231ab och 317.
Föreläsning 10.
Avsnitten 3.5, 4.1-4.4 samt 3.6 i Ela : inversmatrisen och lineära ekvationssystem. Rekommenderade tal i Ela : 323, 324, 402bd, 407a, 409bd, 410bd, 411de, 413ae, 421 och 326d.
Föreläsning 11.
Materialet om vektorvärda funktioner och matriser i avsnitten 4.1-4.6 i AmII , samt koordinattransformationer i 4.6.2. Rekommenderade tal i AmII : 4.1abc, 4.5ac, 4.17abcd samt i ÖII : 405bd, 454, 456be och 461ag.
Föreläsning 12.
Kapitel 5 i AmII : inversa funktioner och implicit definierade funktioner. Rekommenderade tal i AmII : 5.1, 5.2, 5.3abc, 5.5abc samt i ÖII : 501a, 505a, 520 och 526.
Föreläsning 13.
Avsnitten 5.1 och 5.4-5 i Ela : ortogonala matriser, egenvärdesproblem och symmetriska matriser. Rekommenderade tal i Ela : 501ac, 502b, 505b, 517ac, 518ac, 519ab, 520 och 521ac.
Föreläsning 14.
Avsnitten 5.6-7 i Ela : diagonalisering och kvadratiska former. Rekommenderade tal i Ela : 524a, 525a, 527a, 530, 531ac, 532ac, 533ac och 534ac.
Föreläsning 15.
Kapitel 7 och avsnitten 8.1-2 i AmII : Taylors formel samt max och min problem. Rekommenderade tal i AmII : 7.1ac, 7.2a, 7.3a, 8.1acd och 8.2.
Föreläsning 16.
Avsnitten 8.3-8.5 i AmII : lokala extremvärden utan och med bivillkor, samt en stencil om minsta kvadratmetoden. Rekommenderade tal i AmII : 8.3bc, 8.6, 8.7, 8.17a, 8.8, 8.9 och 8.11. Rekommenderade tal i stencilen: 1.1a, 1.3a, 1.1f, 1.3f och 1.8.


Lektionerna ges i 3-timmarspass. Om tiden medger så bör eleverna räkna själva under mittentimmen (med ypperliga möjligheter att fråga om det som man kör fast på).


Rekommenderade tal för övningarna:


Lektion 1.
Från ÖI : 601bdhjloq, 602bdhkm, 603bdfi, 604efghiklmno och 607cdefh.
Lektion 2.
Från AmI : 7.22bc och 7.23b. Från ÖI : 628bcd, 705, 706, 708, 712 och 713b. Från Ela : 109, 110, 141, 142, 143 och 146.
Lektion 3.
Från Ela : 151, 152, 155, 157, 159, 160, 161, 162, 167acfg, 168ac, 170, 172ac, 173, 174, 176a, 177a, 179ac och 180.
Lektion 4.
Från ÖII : 303b, 304, 305ab, 310ace, 415ab, 416abc, 417ab, 419ac, 420, 423, 426, 430, 433, 439, 440, 441, 443, 446 och 448.
Lektion 5.
Från ÖII : 601ac, 614, 615, 622 och 624. Från Ela : 214ac, 215ab, 217ad, 218a, 220a-f, 221a, 223, 225, 227b, 231cd, 232, 315ab, 316, 318ab och 320.
Lektion 6.
Från Ela : 402ac, 407a, 409ac, 410 ac, 411ac, 413bc, 415, 420, 429, 326ef och 322. Från ÖII : 401aceg, 405ace, 407ab, 408cd, 450, 451, 452a, 455, 456a, 457b och 461cn.
Lektion 7.
Från ÖII : 501bd, 505bc, 506, 509, 518, 521 och 528. Från Ela : 501bd, 502c, 503ad, 505c, 517bd, 518bd, 519cd, 521bd, 522bd, 524b, 525be, 526, 527bc och 528.
Lektion 8.
Från Ela : 531bdfh, 532bdfh, 533bdfh och 534bdfh. Från ÖII : 701ab, 702ab, 704a, 801bdhkmp, 802b, 812bde, 815ac, 819a, 822ab, 824 och 838abfh. Från AmII : 8.17b och 8.19b. Från stencilen: 1.1e, 1.3e, 1.1h, 1.3h och 1.9.


Observera till slut att den som inte tar till vara möjligheten att fråga lärarna faktiskt får skylla sig själv om det går dåligt på tentan.


Lycka till!
Olle.

 
Olle Stormark
12/11/2000