5B1303 ANALYS GRUNDKURS, vårterminen 1999.

Denna kurs utgör en förbindelselänk mellan de grundläggande teknologkurserna (i synnerhet envariabeln och den lineära algebran), och matematikens doktorandkurser.

Först studerar vi kapitel 1-7 i

Rudin: Principles of Mathematical Analysis.

Denna bok--som kan köpas i studentkårens bokhandel--ger en rigorös (varom mera nedan) framställning av envariabelskursen, samt en fördjupning av denna. Tyvärr hinner vi inte med hela boken. Av det som hoppas över ingår kapitel 9 och 10 i doktorandkursen i differentialgeometri, medan Lesbegues integrationsteori--som behandlas i kapitel 11--utgör ämnet för en kurs i F4.

Sedan läser vi kapitel 3-8 i

Epstein: Linear Functional Analysis.

På grund av att denna bok är utgången från förlaget tillhandahåller institutionen särtryck--som kan köpas på studentexpeditionen.

I funktionalanalysen tittar man på ``kompletta normerade rum'' och lineära kontinuerliga avbildningar mellan sådana. Då rummen är ändligdimensionella reduceras teorien till den vanliga lineära algebran. I det allmänna fallet blir det sedan spännande att undersöka hur mycket av algebran som låter sig generaliseras till oändliga dimensioner.

Kursen startar den 10:de februari, och håller sedan på under hela vårterminen. Undervisningen ges i form av lektioner , där teori (mycket!) och problem blandas. Kursledare är

Olle Stormark, rum 3653, tel. 7907206, email olles@math.kth.se

Under kursens gång kommer det att delas ut tre stycken inlämningsuppgifter . Korrekt lösta ger de en bonuspoäng var.

Tentamensskrivningen omfattar sju uppgifter à 3 poäng, med både teori och problem. Så med bonuspoängen kan man totalt få 24 poäng.

Betygsgränser : 12-15 p ger betyget 3, 16-19 p ger betyget 4, och 20-24 p ger betyget 5.

Ordinarie tentamen äger rum torsdagen den 3:e juni, kl. 8-13; skrivningssalen kommer att anges på institutionens hemsida.

OBS: Tentamensanmälan (obligatorisk) och kursutvärdering (önskvärd) görs på internet.

$\boldsymbol{\epsilon}$ och $\boldsymbol{\delta}$? Ovan framhölls att den här kursen ger en rigorös framställning av differential- och integralkalkyl. Men VAD ska nu detta vara bra för?

Exempel. En (alltför vanlig) definition av kontinuitet lyder sålunda:

En funktion är kontinuerlig om det går att rita dess graf utan att lyfta pennan från papperet.

Emellertid ger Rudin på sidan 154 ett explicit exempel på en funktion som är kontinuerlig på hela tallinjen, men som inte är deriverbar någonstans ! Och hur i allsin dar ska man kunna rita grafen av en sådan funktion--vare sig man lyfter pennan från papperet eller inte?

Nu skulle det trots allt inte vara så störande om sådana exempel bara utgjorde vissa sällsynta undantag. Men till råga på allt elände kan man som en följdsats till Baires kategorisats (Epstein, sidorna 16 och 17) visa att dom flesta kontinuerliga funktionerna faktiskt inte är deriverbara nå gonstans.

Eller omvänt: mängden av de kontinuerliga funktioner som är så snälla att deras grafer kan ritas på ett adekvat sätt utgör en försvinnande liten del av den totala mängden av kontinuerliga funktioner.

SENS MORAL : Om man vill visa satser som ska vara giltiga för alla kontinuerliga funktioner så är det livsfarligt att stödja sig på intuitionen och det sunda bondförnuftet.

Vad göra istället? Jo, man förlitar sig på dom gamla kompisarna $\epsilon$ och $\delta$. Och ifall du inte tycker om $\epsilon$ och $\delta$--så skall du alltså inte läsa den här kursen.

Preliminär plan för undervisningen:

vecka 6:

$\mathbb {R}$= ordnad komplett talkropp med supremumegenskapen (Rudin sid. 1-30);

vecka 7:

metriska rum, kompakta mängder, följder (Rudin sid. 30-52);

vecka 8:

Cauchyföljder och serier (Rudin sid. 52-82);

vecka 9:

kontinuitet och kompakthet (Rudin sid. 83-102);

obs:

kapitlet om derivering (Rudin sid. 103-119) ska vara känt, eller läses alternativt in på egen hand;

vecka 11:

Riemann-Stieltjes integralen och funktionsföljder (Rudin sid. 120-154);

vecka 12:

ekvikontinuitet och Weierstrass approximationssats (Rudin sid. 154-171), samt L^p- och ${\ell}^{p}$-rummen (Epstein sid. 62-75);

vecka 16:

normerade lineära rum och likformig begränsning (Epstein sid. 76-109);

vecka 17:

lineära funktionaler och operatorer (Epstein sid. 109-152);

veckorna 18, 19 och 20:

spektralteori för kompakta självadjungerade operatorer på Hilbertrum (Epstein sid. 153-193).

Anmärkning. De viktigaste Banachrummen utgörs av de så kallade L^p-rummen. För att förstå dessa ordentligt behöver man känna till Lesbegues integrationsteori. Eftersom vi inte gör detta, lägger vi här större vikt vid ${\ell}^{p}$-rummen, som är mindre intressanta men i gengäld lättare att förstå. Rent allmänt brukar satser för l^p-rum också gälla för L^p-rum--men med svårare bevis.

Lycka till!
Olle