5B1832/1 SYSTEMTEKNIK och 5B1842 SYSTEMTEKNISKA METODER

Laboration 1 hösten 2005:

Fortsatt studium av köer med flera betjäningsstationer

Bakgrund: Vid ett tidigare tillfälle genomfördes en pilotstudie av större kösystem.
Se pappersbilaga alternativt nätversion.

Observation: Pilotstudien visade att den ursprungligen postulerade M/M/s-modellen inte är tillämplig på de betraktade systemen. Det framkom att antalet aktiva betjäningsstationer i själva verket allokeras dynamiskt som funktion av antalet kunder i systemet.

Frågor: Varför förändras antalet öppna kassor över tiden? Enligt vilka regler sker ändringarna?
Dessa frågor ropar på svar:

Resonemang, modellering och den kärva verkligheten:

1. En möjlig grundorsak skulle kunna vara att ankomstintensiteten varierar över tiden. Att göra ett vettigt à priori-antagande om detta tidsberoende verkar dessvärre mycket svårt. Att i stället bestämma funktionen genom mätningar i fält skulle troligen kräva en mycket lång mätserie. Detta förefaller därför inte vara en framkomlig väg. Ett alternativ skulle kunna vara att låta intensitetens tidsvariationer beskrivas av en (stationär) markovkedja. Det sammansatta systemet skulle då beskrivas av en tvådimensionell markovkedja. Här uppkommer i så fall problemet att bestämma övergångsintensiteterna i denna bakomliggande kedja.

   Vi avstår t.v. från att utveckla modellen i denna riktning.

2. Fortsättningsvis antar vi att ankomstintensiteten är konstant. Hur stora slumpvariationer i N(t) kan vi räkna med under detta antagande? Fundera över hur E{N} och V{N} för ett M/M/s-system beror av trafikintensiteten. (Det kan vara lämpligt att - t.ex. medelst MAPLE eller MATLAB - rita graferna.) Kan variationskoefficienten R(N) = V{N}^1/2/E{N} vara en intressant och meningsfull storhet?

   Verkar förklaringen stå att söka i denna riktning?

3. Betrakta (som inledning) ett M/M/2-system för vilket 1 < lambda/my < 2. Det är uppenbarligen inte möjligt att ta bort en betjäningsstation, men möjligen skulle den kunna "köras på halvfart". Detta kan ske på olika sätt:
   • En möjlighet skulle kunna vara tidsstyrning, d.v.s att stänga stationen under halva dagen eller under 20 minuter varje timme eller något liknande. Detta verkar vara en ganska obegåvad lösning med låg flexibilitet.

   • En annan, sannolikt bättre, lösning skulle kunna vara händelsestyrning: Håll hela tiden en betjäningsstation öppen, men öppna eller stäng den andra allt efter antalet personer i systemet. Detta borde kunna fungera för lämpligt val av brytpunkt.

   Betrakta det senare alternativet. Gör lämpliga antaganden ( redovisa dessa ordentligt!) om kundbeteende och modellera situationen. Rita grafer av E{N}, V{N} och V{N}^1/2/E{N} som funktioner av trafikintensiteten eller annan lämplig storhet för olika val av brytpunkt. Jämför med motsvarande värden för M/M/1 och M/M/2. Hur bör brytpunkten väljas? Vilken är modellens fördelning för antalet (aktiva) betjäningsstationer och det förväntade antalet aktiva stationer?

   Kan resonemanget utvidgas till ett system med tre betjäningsstationer och två möjliga brytpunkter? Gör i så fall en motsvarande utredning för denna situation.

4. En modell måste alltid prövas mot verkligheten. Uppsök vid två olika tidpunkter (hög- respektive lågtrafik) en lämplig lokal - exempelvis en livsmedelsbutik, ett apotek eller ett mindre systembolag (endast fantasin sätter gränser!) - med två eller tre betjäningsstationer. Mät tiderna mellan ankomster under ett tidsintervall av rimlig längd (en timme borde väl räcka?) och sådant att ankomstintensiteten kan antagas vara konstant. Mät även betjäningstiderna, antalet öppna stationer och antalet individer i systemet (samt eventuella andra kvantiteter som ni bedömer vara av intresse).
   Verkar den föreslagna modellen utgöra ett steg i rätt riktning? Vad bör man beakta vid det fortsatta arbetet?

5. Har ni något förslag till alternativ modellering?