5B1832/1 SYSTEMTEKNIK och 5B1842 SYSTEMTEKNISKA METODER Laboration 2 hösten 2005: Utbytesstrategi för oväxlad velociped Ett problem av stor praktisk betydelse är utbytesproblemet: När bör en kapitalvara, vilken försämras med tiden, ersättas med en ny? Den fråga, som skall besvaras, är alltså följande: Antag att vi äger en maskin av en viss ålder - bör vi då behålla den eller byta in den? Om vi väljer att byta in den, hur gammal maskin skall vi då köpa? Som konkret exempel betraktar vi cykelutbytesproblemet över ett tidsintervall av tio år. Vi bestämmer oss för att utvärdera vår aktuella situation en gång i kvartalet, och att vid varje sådant tillfälle fatta beslutet att antingen behålla den gamla cykeln (vilken, något orealistiskt, inte antas bli stulen under något av tidsintervallen!) eller byta in den. Systemets tillstånd, i, är cykelns ålder, räknad i antal kvartal; i går alltså från 1 till 40. För att hålla antalet tillstånd ändligt, anses ett fordon av ålder 40 för evigt förbli av denna ålder (den anses då väsentligen utsliten. Ja, ja, det var bättre förr: då höll cyklarna i flera hundra år.) Följande alternativ finns i de olika tillstånden: Det första alternativet, svarande mot k=1, är att behålla nuvarande cykel i ytterligare tre månader. De andra alternativen, för k>1, är att köpa en cykel av ålder k-2, där k-2 kan vara så mycket som 39. Vi har således 40 tillstånd med 41 alternativ i varje, d.v.s. 4140 (ungefär 1050) möjliga strategier. Hårda bud! Följande data är givna: Ci , kostnaden för att köpa en cykel av ålder i Ti , inbytesvärdet för en cykel av ålder i Ei , förväntade kostnaden för att använda en cykel av ålder i, till dess den uppnår åldern i+1 pi , sannolikheten att en cykel av ålder i kommer att överleva till dess den uppnår åldern i+1, utan att ge upphov till orimligt höga reparationskostnader En cykel - av vilken som helst ålder - vilken råkar ut för ett hopplöst sammanbrott (t.ex. knäckt ram) skickas omedelbart till tillståndet 40. Givetvis är p40 = 0. Systemet beskrivs uppenbarligen av ekvationerna g + vi = - Ei + pi vi+1 + (1 - pi) v40 , då k=1 g + vi = Ti - Ck-2 - Ek-2 + pk-2 vk-1 + (1 - pk-2) v40 , då k>1 Angiv våra "standardparametrar" qik och pijk uttryckta medelst problemets parametrar. Data framgår av nedanstående tabell [kostnader i kronor]: Ålder, i Kostnad, Ci Inbytesvärde, Ti Driftskostnad, Ei Överlevnadssannolikhet, pi 0 2000 1600 50 1.000 1 1840 1460 53 0.999 2 1680 1340 56 0.998 3 1560 1230 59 0.997 4 1300 1050 62 0.996 5 1220 980 65 0.994 6 1150 910 68 0.991 7 1080 840 71 0.988 8 900 710 75 0.985 9 840 650 78 0.983 10 780 600 81 0.980 11 730 550 84 0.975 12 600 480 87 0.970 13 560 430 90 0.965 14 520 390 93 0.960 15 480 360 96 0.955 16 440 330 100 0.950 17 420 310 103 0.945 18 400 290 106 0.940 19 380 270 109 0.935 20 360 255 112 0.930 21 345 240 115 0.925 22 330 225 118 0.919 23 315 210 121 0.910 24 300 200 125 0.900 25 290 190 129 0.890 26 280 180 133 0.880 27 265 170 137 0.865 28 250 160 141 0.850 29 240 150 145 0.820 30 230 145 150 0.790 31 220 140 155 0.760 32 210 135 160 0.730 33 200 130 167 0.660 34 190 120 175 0.590 35 180 115 182 0.510 36 170 110 190 0.430 37 160 105 205 0.300 38 150 95 220 0.200 39 140 87 235 0.100 40 130 80 250 0.000 Plotta givna data som funktioner av i. Verkar de rimliga? Använd policyiterationsmetoden (Howards algoritm) för att bestämma optimal utbytesstrategi. (Angiv denna!) Hur raskt konvergerar algoritmen? Plotta kostnaden per kvartal som funktion av antalet iterationer! Vilken är årskostnaden för cykelinnehavet? Kan cykeln konkurrera med buss/tunnelbana/pendeltåg. Med bilen? Med tanke på planeringsperiodens längd kan det vara rimligt att ta hänsyn till låneräntan, förslagsvis 12 procent per år. Detta svarar ganska väl mot alfa=0.97 (eftersom tidsenheten är kvartal och 4x0.03=0.12). Bestäm optimal strategi och nuvärde under de nya antagandena! Hur många iterationer behövs nu? Antag att du erbjuder din cykelhandlare en engångssumma på 4.000 kronor, för att för evigt hålla dig med cykel. Vad svarar han (eller hon)? Om du erbjuder 7.000 kronor? Var går smärtgränsen ("break even")?