2. DER               Derivator

Vecka 41-42
Fyra föreläsningar

Lappskrivning 18/10 kl. 13-14


Innehåll:

Kap. 3 och Kap. 4 utom 3.7


  • 3.1-3.2 Definition av derivata.

  • 3.3 Deriveringsregler.
  • 3.3 (forts.)

  • 3.4 De elementära funktionernas derivator.

  • 3.6 Derivator av högre ordning.

  • 3.8 Differentialer

  • (4.3) Derivatalistan skall kommas ihåg.

  • Vissa derivator kan beräknas direkt ur definitionen, ex.vis derivatorna för x2 och x3.

  • (4.4) Implicit derivering , som beskrivs i 3.3. Ex. 14, är viktig och brukar vålla en del problem. Poängen är att man kan få fram värdet för y:s derivata även då y inte definieras explicit som funktion av x.

  • Logaritmisk derivering (Ex. 17 i 3.4) är ofta praktisk eftersom metoden kan spara mycket tid.

  • Högre derivator (y'', y''' osv.) uppträder i viktiga differentialekvationer.
    Man bör lära sig att hantera högre derivator även vid implicit derivering.

  • Differentialer (i 3.8) spelar inte så stor roll i denna kurs, men förekommer mer i Analys i Flera Variabler. Skall dock kännas till.

  • 3.5 Allmänna egenskaper hos deriverbara funktioner.

  • 4.1 Kurvritning

  • 4.2 Extremvärden.
Detta avsnitt bygger på Medelvärdessatsen (Sats 14 i 3.5).
Ur Medelvärdessatsen följer i sin tur Sats 16 ( i 3.5) som relaterar derivatans tecken till funktionens växande och avtagande. ( f'(x) > 0 => f(x) strängt växande i motsvarande intervall.)

Här behöver man skilja på strikt växande och växande (och motsvarande för avtagande.)

Med hjälp av denna teori kan man utföra kurvskissering (i 4.1). Notera särskilt metoden med teckentabeller.

  • (4.6) Kurvskiss 1

  • (4.7) Kurvskiss 2

    Lokala extremvärdesproblem, dvs problemet att bestämma lokala max- och minpunkter (definieras i 3.5) kan lösas med hjälp av derivatans tecken och teckentabeller. Här behövs Sats 15 (i 3.5) som säger att om f är deriverbar så är f'(a)=0 i en lokal inre extrempunkt.
    I en alternativ metod används andraderivatan för att avgöra extrempunktens karaktär.


    • 4.3 Optimering.

    • 4.4 Olikheter.

    • 4.6 Konvexitet
    • Optimeringsproblem innebär att man söker funktioners största och minsta värde i ett givet område.
      En viktig sats om kontinuerliga funktioner ( i 2.2. s. 149 ) säger att området är slutet och begränsat finns alltid ett största och ett minsta värde. Här måste hänsyn tagas till funktionsvärden i områdets randpunkter och till ev. punkter där funktionen inte är deriverbar. (Funktionen f(x) = |x| är ex,vis inte deriverbar i x=0).

    • Olikheter kan bevisas för deriverbara funktioner med samma metoder som används för kurvskissering. Det är här viktigt att derivatans tecken i olika intervall motiveras tydligt, ex.vis genom att derivatan skrivs på faktoriserad form. Också funktionsvärdet i en eller flera nyckelpunkter behövs för att beviset skall fungera. Teckentabell rekommenderas.

    • I 4.6 relateras begreppen konvexitet och konkavitet till andraderivatans tecken. (f''>0 => f är konvex). Dessa begrepp bör kunnas. (Minnesregel: f(x) = x2, vars graf ser ut som ett U, är konvex). Dessa satser tillämpas här på max och minproblem.