.

2.MAT              Matrisalgebra

Föreläsningar


Innehåll (LGA):

Kap.2.2-2.4
Kap. 3.1 - 3.2, 3.5
Kap. 4.1-4.4
Kap. 5.1-5.5
Kap. 6.1-6.2

Må 4/2 13-15 F2

  • 2.2-2.3 Matriser och linjära avbildningar.
  • 2.4 Sammansatta avbildningar.

En linjär avbildning från Rm till Rn kan representeras av en matris. Man kan definiera produkten av en matris A och en vektor u som en ny vektor v, v = Au, så att avbildningarna från u till v bildar en linjär transformation. Man får en naturlig definition av en (3.3) matrisprodukt genom att kräva att produkten AB skall representera en sammansättning av avbildningarna som representeras av B resp. A .
Observera att kommutativitet inte gäller, dvs AB är normalt inte samma matris som BA.
Operationen transponering, AT, innebär att varje rad övergår till en kolumn (rad nr j blir kolumn nr j).
Enhetsmatriser fyller samma funktion som ettor i normal talalgebra. De är kvadratiska matriser med ettor i diagonalen och nollor i övrigt.

O 6/2 10-12 F2

  • 3.1 Inledning till linjära ekvationssystem

  • 3.2 Gausselimination
Gausselimination ((3.1), (3.2) kallas den metod som oftast används för handberäkning av lösningar till ekvationssystem.
Här behandlas först det viktiga specialfallet homogena system, där alla högerled är 0.
Homogena system har alltid minst en lösning, nollösningen.
Liggande system har fler variabler än ekvationer och har antingen oändligt många lösningar (normalt) eller inga.

Må 11/2 10-12 F2

  • 3.5 Överbestämda ekvationssystem.

  • 4.1-4.3 Determinanter
  • 4.4 Area- och volymsändring, multiplikationssatsen.
3.5.I fallet överbestämda system existerar ingen lösning. Däremot kan man oftast bestämma en lösning som enligt den så kallade minstakvadratuppskattningen är den bästa icke-exakta lösningen.

4.1-4.3 Determinanter användes redan i den algebraiska definitionen av vektorprodukt. De visar sig också spela en viktig roll vid studiet av antalet lösningar till kvadratiska linjära ekvationssystem.

I 4.4 visas hur yt- och volymsskalan relateras till determinanter och hur detta leder till den enkla formeln för determinanten av en produkt av kvadratiska matriser.

O 13/2 10-12 F2

  • 5.1-5.3 Existens av lösningar till kvadratiska och ickekvadratiska system.

  • 5.4 Baser. Linjärt oberoende.

  • 5.5 Cramers regel.

Stående system har fler ekvationer än variabler och har normalt inga lösningar, men de andra två fallen kan förekomma.
Simultana system består av flera system med samma vänsterled men olika högerled. De kan lösas simultant (dvs på en gång.)
Linjära avbildningar mellan rummen Rn och Rm tolkas olika beroende på vilka dimensioner n och m som är aktuella. Men linjariteten är en viktig princip som går att känna igen i samtliga fall.

Må 18/2 13-15 F2

  • 6.1 Inversa avbildningar och inversa matriser
  • 6.2 Isometriska avbildningar och ON-matriser.
Vänsterleden i normalt uppställda linjära ekvationssystem kan tillsammans ses som en matris-vektor-produkt, Av, där A är koefficientmatrisen och v variabelvektorn. Högerleden kan sammanfattas i den konstanta kolumnvektorn b.
(3.4) Ekvationssystemet skrivs alltså Av =b.
Detta ger möjlighet att skriva lösningen som v=A-1b, om systemmatrisen ( matrisen A) är kvadratisk och om inversmatrisen existerar.
A-1 existerar om det(A) är skild från 0.